大家都知道这个老套路。一列火车以每小时 35 英里的速度离开一个城市，另一列火车以每小时 25 英里的速度从 60 英里外的另一个城市驶向它。它们需要多长时间在中途相遇？抛开 4 小时的实际答案（考虑到信号问题、铁轨上的落叶和 Clapham Junction 外的连环相撞），这类现实世界场景常常被用作教学工具，让枯燥的数学在课堂上“活起来”。
然而，它们实际上并没有起到作用。一项新研究表明，长期以来，学生们吃着现实世界问题的“大餐”，不仅未能轻松掌握数学概念，而且无法将知识应用于新情境。相反，出乎所有意料的是，如果他们通过抽象的规则和符号进行教学，他们更有可能转移所学的技能。
具体、现实世界中的例子是数学课堂中根深蒂固的一部分。它的优势从未得到真正充分的测试，因为它们似乎很直观。数学之所以困难，是因为它在很大程度上是一个抽象的领域，既难以学习，又难以应用于新情境。解决方案似乎显而易见：向学生展示许多熟悉的例子，来说明所讨论的概念，这样他们就可以在现有知识和他们试图掌握的更困难的概念之间建立联系。
火车问题是一个经典的例子。另一个例子是，通过掷骰子或让人们从装有蓝色和红色弹珠的袋子里挑选红色弹珠来教授概率。其想法是，有了这些例子，学生就会识别出类似的问题并应用他们所学到的知识。这是一种根植于常识的技术，而常识可能同样是它可能完全错误的指示。
水壶、披萨、球和符号
俄亥俄州立大学的 Jennifer Kaminski 通过招募 80 名本科生，并教他们一个涉及将三个独立元素相加的简单数学概念来证明这一点。这个概念包括非常基础的数学思想，如零的概念，或交换律的概念——即相加的顺序不会改变结果（1+2 和 2+1 都等于 3）。
三个小组通过熟悉的、具体的例子进行教学。第一组被要求想象量杯中装着不同量的液体，并被要求计算合并后剩下多少液体。例如，将一个装有三分之一液体的量杯与另一个装有三分之二液体的量杯合并，会得到一个装满的量杯。将两个都装有三分之二液体的量杯合并，会得到一个剩三分之一液体的量杯。
第二组则通过另一个类似的例子，涉及披萨片与量杯一起进行教学，而第三组则学习了这两种例子，以及涉及网球的第三种系统。他们被告知，每个新系统都以与旧系统相同的方式工作，并遵循相似的规则。
第四组则以更通用的方式进行教学。生动的量杯、披萨和球被替换为通用的、无意义的任意符号，学生们只需学习如何将它们组合起来。例如，一个圆圈和一个菱形组合成一个波浪形矩形，而两个圆圈的和是一个菱形。
培训、反馈和 24 道选择题测试后，Kaminski 对绝大多数学生都成功掌握了这些原则感到满意。然后，她要求学生们将所学知识应用于一个全新的情境，该情境被描述为一个涉及三个物体的外国儿童游戏。孩子们指向其中两个物体，而一个“出局”的孩子必须指向正确的最后一个物体才能获胜。
学生们被告知，游戏的规则与他们刚刚学到的系统非常相似。他们被展示了一些例子，以便他们能够推断出这些规则，并接受了 24 道选择题的测试。这些问题实际上与他们之前回答过的问题相同，只是“翻译”到了新的情境。
通用优于具体
出乎所有人的意料，通过通用符号进行教学的小组表现最好，正确回答了 76% 的问题。他们完全超越了通过现实世界例子进行教学的三个小组，这三个小组的得分都在 44-51% 之间，与随机猜测无异。通过三个具体例子进行教学的小组的表现与只学习一个系统的学习者一样差（见下面的实验 1）。
因此，学生能够从相关例子中找出相似之处的常识似乎并不奏效。事实上，情况恰恰相反——如果他们通过通用的抽象例子进行教学，他们更能将知识应用于新情境。
这个结果似乎与传统的教育观念格格不入，以至于 Kaminski 进一步进行了测试。她又招募了 20 名志愿者，并向他们教授了量杯和披萨系统，但这一次，她明确解释了两者之间的相似之处。令人惊讶的是，这并没有改善情况，学生的得分仍然更像是随机猜测，而不是学到的解决问题的能力。
在第三次实验中，学生们自己被要求找出两个系统之间的相似之处。这一次，20 名学生中有 9 名获得了高达 95% 的高分，但其他人的表现仍然没有比随机猜测好。因此，这种教学方法使一些高绩效学生取得了顶尖成绩，但也未能帮助其他学生。平均而言，“班级”的得分仍然低于学习通用符号的小组。
在最后一次实验中，Kaminski 希望了解现实世界和通用例子结合起来是否会比单独使用其中一种效果更强。显然，两者都有其优势——通用例子似乎更容易应用，而现实世界的例子在开始时更容易掌握。即便如此，只学习抽象符号系统的学生仍然优于学习了量杯方法，然后学习符号的第二组学生（见上图的实验 4）。
Kaminski 的工作无疑会让教育界人士感到震惊。虽然学生在面对现实世界的例子时更容易接触数学概念，但这些令人震惊的实验表明，他们并没有真正掌握其潜在原理的任何真切见解。没有这些见解，他们就无法将知识从一个现实世界的例子应用到另一个，这正是数学老师想要达到的目标的反面！
Kaminski 并不是呼吁在课堂上完全停止使用现实世界的例子，但她建议只有在引入了基本的抽象原理之后，才应该使用它们。将抽象概念深入地植根于现实世界的例子中，实际上可能会弊大于利，因为它会限制学生获得的知识，并阻碍他们识别其他地方相同的概念的能力。关于弹珠袋和火车速度的问题，真的就只是关于弹珠袋和火车速度的问题。
更新：Chad 在 Uncertain Principles 上对这些结果进行了认真分析。可以看看。
参考：Kaminski, J.A., Sloutsky, V.M., Heckler, A.F. (2008). LEARNING THEORY: The Advantage of Abstract Examples in Learning Math. Science, 320(5875), 454-455. DOI: 10.1126/science.1154659
图片：火车照片由 Nachoman-au 提供；图画和图表来自 Science。
