我们都有这种经历——一次又一次地，总是如此。您走到街边等公交车（或火车、地铁、轮船）；您知道公交车大约每10分钟来一辆，所以您期望等待约5分钟（平均而言，在两班公交车间隔的中间到达）。但实际上，我们都知道，几乎总是需要等更长的时间！这是我们几个世纪以来形成的错觉，因为我们相信“坏运气的持续性”，还是这实际上是真实存在的？事实上，这是一个真实存在的现象，而且这个结果甚至可以通过数学证明。因为您到达的时间是在上一班车离开之后，所以您的平均等待时间比10分钟的平均间隔长。直观的理解方式是画出时间线，包含短间隔和长间隔——它们的平均长度确实是10分钟，但随机性会使其中一些比标称的平均值长，而另一些则更短。您出现在公交车站也是一个随机事件，而这个事件更有可能发生在一个长的间隔内，而不是在一个短的间隔内！这就是概率论在起作用：您出现在公交车站的那一刻就像飞镖射向时间线；飞镖更有可能“命中”一个长公交车间隔时段内的数字线，而不是一个短公交车间隔时段（公交车到达时间在下面的时间线上用“X”表示）：----X------------X-----X---------------------X---------X-----------X-------- 在此处到达的可能性更大^ 而不是在此处 ^（在上面的线上）。
检查悖论
这里描述的想法被称为“检查悖论”，它表明：当您“检查”一个过程时，您很可能会发现事情比它们（未经检查的）平均值花费的时间更长。这个概念似乎与“平均”的含义相矛盾。但实际上并非如此。您只“检查”了一个公交车间隔，而不是整个分布。您通过去公交车站而“检查”的实际间隔是一个特殊的间隔：它是一个越大越有可能被选中的间隔。因此，这个间隔的选择就带有向长间隔倾斜的固有偏差，从而导致比所有此类间隔的平均值更长的等待时间。加州大学伯克利分校的Sheldon Ross对检查悖论进行了广泛研究，他给出了几种不同的更新理论中的严格证明
。* 这个看似悖论的现象在日常生活中以许多不同的形式出现——其中一些与好运有关，而不是坏运。例如，您手电筒中的电池现在的使用时间平均来说会比“平均”电池长（因此是“悖论”）。而一个60岁的人很可能比“平均”人活得更长。这是因为这个人已经活了60年，不可能死于60岁以下——就像如果一辆公交车在您到达公交车站之前已经20分钟没来，那么两辆公交车之间的间隔就不可能小于20分钟一样。
寿命的令人费解的案例
检查悖论的最后一种表现形式以意想不到的方式影响着寿命的估计。2013年世界各国预期寿命数据
显示摩纳哥以89.63年的总寿命位居榜首。其他网站显示以色列位居世界第四
，平均预期寿命为82岁。我想集中讨论这两个国家，因为它们代表了检查悖论的强烈扭曲效应。以色列的情况似乎是最令人费解的。以色列处于一个有一些热带疾病（如西尼罗河病毒）的地区，它遭受了造成许多受害者的战争和恐怖袭击，交通事故死亡率相对较高，吸烟比美国（美国预期寿命在以色列排名第四的榜单上排名第33位！）更普遍，而且该国还普遍存在压力和与压力相关的疾病。那么，为什么以色列的寿命会排名世界第四呢？答案是检查悖论。以色列是一个移民国家。在1989年至2002年间，有110万俄罗斯犹太人移民到以色列
——占总人口的七分之一以上。而且这个统计数据还不包括到1972年到达以色列的60万来自阿拉伯和穆斯林国家的移民
，以及几十年来其他移民浪潮。每一位移民到新国家都会因为上述简单原因和检查悖论的数学原理，而将该国的平均寿命提高一小部分：如果一个40岁的男人移民到一个国家，他就不可能死于40岁以下，因此最终会为他的养育国的死亡年龄分布的上限做出贡献。如果一位98岁的女性移民到一个国家，她会立即提高该国的死亡年龄统计数据，因为她已经比该国大多数已经死亡的人年长。当然，一个移民的贡献很小，但是当数百万移民到一个国家（如以色列）时，他们就会人为地夸大该国“总体预期寿命”的数据。这是一个（无意或未纠正的）用统计数据撒谎的例子。那么排名世界第一的摩纳哥呢？摩纳哥是一种“人造国家”。作为世界上最著名（或声名狼藉）的避税天堂，它吸引了非常富有的人，他们获得了这个地中海小公国的公民身份，从而在纸面上“移民”到那里。（许多富裕的欧洲人声称拥有摩纳哥居留权，以避免在本国纳税。）因此，摩纳哥至少名义上是一个移民国家，考虑到其人口稀少，移民的数量对其寿命统计数据的影响可能与对以色列的影响一样大。此外，富裕的摩纳哥人能够获得世界上最好的医疗保健设施，并且倾向于活得更长——进一步提高了公国的寿命统计数据。
幸运的数学
检查悖论是更新理论（属于称为随机过程的数学领域）中一个鲜为人知的结论，它微妙地影响着我们在日常生活中遇到的许多类型的过程，以及在经济学、科学和纯数学中的应用。事实上，利用这个结论，可以证明寻找素数（之前的一篇文章的主题
）如果系统地进行，会比随机选择数字间隔更有效（因为这将使这些“检查过的”间隔人为地变长，考虑到素数似乎随机地分散在整数中）。*有关随机过程中这个鲜为人知的定理的更多细节和应用（以及另一个证明），请参阅Sheldon Ross的《概率模型导论》（第十版，Academic Press，2009年）。最优雅、最简单的证明如下。如果F(x)是到达时间间隔的（连续）概率分布，那么根据定义，1 - F(x)是等待时间长于x的概率。现在，当您“检查”一个到达时间间隔时，它已经持续了一段时间，s（例如，当您到达公交车站时，距离上一班车已过去5分钟）。我们想要计算这个特定间隔的到达时间间隔大于x的概率，给定它已知大于s。设到达时间间隔的长度为随机变量X。那么这个概率由下式给出：P(X>x|X>s)= [1 - F(x)]/[1 - F(s)]，它大于1 - F(x)，因为分母小于1。*图片由Robert Hoetink / Shutterstock提供
