最近，我费力批改了一大堆研究生水平的习题集，这让我不得不分享我在研究生院学到的一个最有用的技巧。让你的积分无量纲化。这对于在场的理论物理学家来说可能听起来很傻，他们习惯于改变变量和单位，直到所有东西都无量纲并等于一。然而，在天体物理学中，你经常对真实的物理量（光子数量、恒星质量、星系光度等）进行积分，这些量仍然带有单位。虽然学生们通常能很好地设置必要的积分，但在实际评估积分时，他们却经常出错，因为他们奋力地试图传播所有这些额外的因子。这里有一个例子来说明我的意思。假设你想计算某种光电离速率常数，当乘以原子密度时，它会给你每体积的光电离速率。这类速率总是密度乘以速度乘以截面
$latex displaystyle int_0^infty left({rm photon: density}right) , left({rm velocity}right) , left({rm cross: section} right)$
对于普朗克光谱的光子和高于某个阈值的典型能量依赖性截面 $latex displaystyle int_{nu_0}^infty left(frac{u_nu}{hnu}right) , cdot ,c , cdot , sigma_0,left(frac{nu}{nu_0}right)^{-3} , {rm d}nu $ 这变成了 $latex displaystyle int_{nu_0}^infty frac{8pi,hnu^3}{c^3} , frac{1}{e^{hnu/kT}-1} , cdot , c , cdot , sigma_0,left(frac{nu}{nu_0}right)^{-3} , frac{{rm d}nu}{hnu}$ 这个积分看起来像个棘手的家伙。你可以把一些因子提出来，但你仍然剩下指数中那些令人不快的部分。你使用的积分变量也有单位，这使得检查答案的量纲以确保其合理性变得更加困难。相反，如果你强制让积分变量无量纲化：$latex displaystyle x=frac{hnu}{kT} $ 积分就简化成你可以开始理解的东西：$latex displaystyle frac{8pi}{c^2} , frac{(x_0,kT)^3}{h^3} , sigma_0 int_{x_0}^infty , frac{1}{e^x-1} , frac{{rm d}x}{x} $ 现在你把积分的“核心部分”放在前面，在那里你可以检查单位和答案的缩放比例，看看它是否合理。这个积分也更容易评估（尽管在这种情况下，它实际上不是一个微不足道的积分，但至少你可以及早认识到这一点并计划如何处理它）。如果你处于必须分部积分的情况，无量纲积分会为你省去大量的麻烦。即使你在评估积分时犯了错误，你也通常只差一个简单的乘法因子，比如 $\pi$ 或 2。所有这些都是好的。
