我经常坐飞机。演讲、会议，什么都行。我通常喜欢靠过道的座位，因为这样，那个有怪味、占用超过 1.8 个座位的那位粗鲁的家伙就只会从我一边打扰我，而我不会被挤在靠窗的位置。
然而，有时候我确实喜欢选靠窗的座位，尤其是当我在日落时分飞行，或者飞过一片特别有趣的风景时（日落时飞越犹他州南部会改变你的人生）。但即使那时，风景也在飞速掠过，最终你会飞过科罗拉多州东部，那里除了平坦、平坦的土地，一直延伸到地平线，什么也看不见。
当我凝视着金色的麦浪，看着分隔陆地和天空的那条线时，我有时会想，那条线有多远。地平线是一个半神话般的距离，在诗歌中被用作某种哲学划分的隐喻。但实际上它是一个真实的东西，它的距离是可以确定的。只需要一点点几何知识，再加一张图为你指明方向。
跟我一起。我们要找到失落的地平线。
所以你正站在地球上。我们假设地球是一个完美的球体，因为这会让事情简单很多。我们的情况看起来是怎样的？嗯，看起来是这样的
在这个图表中，圆圈是地球的表面，其半径为 **R**。地球的半径随纬度而变化，但我将使用 6365 公里作为一个不错的平均值。站在地球上的人的身高为 **h**（比例不准确，显然）。视线到地平线的距离是红线，标为 **d**。找到 **d** 的值是我们的目标。请注意，地球半径是一个常数，但 **d** 会随着 **h** 的升高或降低而变化。
关键在于，在可见地平线上，你的视线与地球半径线之间的角度是直角（图中标示）。这意味着我们有一个直角三角形，而且——回想一下高中时模糊、尘封的记忆——这意味着我们可以使用勾股定理来得到 **d**。斜边的平方等于另外两条边平方之和。一条边是 **d**，另一条是 **R**，而斜边是地球半径加上你高出地面的高度，即 **R**+**h**。这给了我们以下的代数公式：
d² + R² = (R+h)²
好了。现在呢？嗯，让我们用 FOIL 方法展开最后一项
(R+h)² = R² + h² + 2Rh
将它代回第一个方程得到：
d² + R² = R² + 2Rh + h²
嘿，我们两边都有 **R²** 因子，所以它们抵消了！这样我们就得到了：
d² = h² + 2Rh
现在，对两边取平方根，瞧！你就得到了 **d**。
所以现在我们有了一个方程，它告诉我们地平线的距离取决于我们在地表以上的高度。我们可以用它来输入不同的 **h**（我们的身高）值，看看地球的边缘有多远。我把它输入到一个 Excel 表格里，数字如下。
表格中，第一列是你在地球表面以上的高度（实际上是你眼睛的高度），单位是米，第二列是地平线距离，单位是公里。第三列和第四列相同，但对于我们美国人来说，单位是英尺和英里。
高度（米）距离（公里）高度（英尺）距离（英里）00.00.00.013.63.32.125.16.63.036.29.83.747.113.14.358.016.44.868.719.75.279.423.05.7810.126.26.1910.729.56.41011.332.86.82016.065.69.63019.598.411.74022.6131.213.55025.2164.015.16027.6196.816.67029.9229.617.98031.9262.419.29033.9295.220.310035.7328.021.41000112.83280.067.72000159.66560.095.75000252.316,400.0151.410,000356.932,800.0214.212,000391.039,360.0234.6100,0001,132.7328,000.0679.6500,0002,572.01,640,000.01543.21,000,000,0001,006,344.93,280,000,000.0603,806.9
常识检查：如果你离地球表面 0 米（躺得很平），地平线就是 0 公里。这说得通——你和地表是相切的！所以第一行看起来是对的。
现在想象一下你正站在海滩上，望着海面上的地平线。大多数人身高不到两米，而且你的眼睛离头顶还有几厘米。但我们就假设你的眼睛离地面两米高（也许你站在一个小沙丘上）。在这种情况下，你的地平线是 5.1 公里（3 英里）远。这在我看来也差不多。
但现在假设你在海滩边的酒店里，在你的楼层，你的眼睛离地面 20 米。那么地平线就是 16 公里远，比之前远得多。很好：你越高，地平线应该越远。
如果你高得多呢？比如在飞机上？在 39,000 英尺（12,000 米；典型跨国航班的高度）的巡航高度，地平线是 391 公里（235 英里）远！这是一个惊人的长距离；一般来说，这意味着你可以看到美国一个或多个州。这常常会骗我；即使是离飞机正下方稍微远一点的东西，也意味着它在几英里之外。
如果你再往高处去呢？航天飞机可以达到大约 500 公里（实际上略多一点，但差不多）的最大高度。那就是 500,000 米，或者表格倒数第二行。对他们来说，地平线将近 2600 公里远！这意味着他们可以通过从航天飞机的一侧看到另一侧来看到几乎整个美国。酷。
如果你离得非常远呢？从无限远的距离来看，你应该看到地平线比你的身高远一个地球半径（如果你愿意，可以画个图）。实际上这不可能，所以我在最后一行写了我们可怜的观察者漂浮在太空中，距离为一百万公里（比到月球的距离还要远两倍多）。地平线当时是 1,006,344 公里远，这差不多是（但不是完全）地球半径加上观察者越过地表的距离。他们几乎——但不是完全——同时看到了地球的一半。
好了，就这样。下次你在海滩上，或者下次你乘飞机时，不妨看看地平线。就像彩虹的尽头一样，它是不可能到达的。但要知道它有多远——这并非不可能——甚至一点也不难。
如果你喜欢这个，可以看看 Mooey 的 “证明地球不是平的十大方法”。那里还有更多几何学的趣味知识。[更新：我完全不知道，但是 Erik Rasmussen 也写了一篇关于这个主题的文章，从去年三月开始，它和我写的惊人地相似。我发誓我从没看过他的；但我想伟大的思想等等！]
