终于，业余爱好者发现了“爱因斯坦”瓷砖

大卫·史密斯（David Smith）的业余爱好是设计瓦片。更具体地说，这位退休的印刷技师兼业余数学家会尽可能多地拼凑瓦片（不允许留有空隙），直到图案要么重复，要么无法继续。

直到最近，尽管有许多才华横溢的人在过去 50 年里进行了研究，但他们测试过的所有形状都符合这两种命运之一。然后，去年 11 月的一天，史密斯发现了唯一的已知例外。

13 边形

史密斯使用一款名为 PolyForm Puzzle Solver 的应用程序，构建了一个锯齿状的 13 边形。它有点像一顶圆顶礼帽，他开始用它的副本填满屏幕。它们无缝地连接在一起，令他惊讶的是，图案没有重复。

“我以前从未见过这种镶嵌方式，”他说。

他渴望进一步探索，剪出了几十个纸质副本，然后重新开始。一张接一张，瓦片不断地就位。它们引导他深入一个引人注目的视觉图案——随着图案的增长，他的兴奋也随之增长。

他将这个有希望的作品展示给了滑铁卢大学的计算机科学家克雷格·卡普兰（Craig Kaplan）。“他几乎立刻就意识到自己发现了一些新的、深刻的东西，”卡普兰说。

尽管在数学上证明还需要一段时间，但他们的直觉是正确的：正如他们和另外两位同事在 3 月份宣布的，在一篇尚未经过同行评审的 论文 中，史密斯偶然发现了长期以来一直在寻找的“爱因斯坦”瓦片。

难以捉摸的爱因斯坦瓦片

此处使用的“爱因斯坦”一词与那位德国物理学家无关。相反，它唤起了他姓氏的字面意思：“一块石头”。

这是一个不那么令人打瞌睡的绰号，用来称呼技术上称为“非周期性单瓦”（aperiodic monotile）的物体——一种单块瓦片，可以无限地填充平面，而且永远不会重复图案。

在典型的浴室地板上，你会发现整洁的方形、三角形或六边形，以某种清晰可见的顺序排列。现在，想象一下这些整齐的行被明显随机混合的积木取代， voilà——非周期性装饰。

换句话说，没有哪个部分可以被剪切和粘贴来完成剩余的镶嵌。

其他非周期性镶嵌

在 13 边形的“帽子”瓦片出现之前，没有人知道爱因斯坦瓦片是否存在。

自 1966 年罗伯特·伯杰（Robert Berger）设计出第一套可以进行非周期性铺设的瓦片以来，数学家们一直在寻找这样的瓦片。这是一个里程碑式的创新，但由于有 20,246 种不同的形状，相当笨拙，对于 DIY 家庭装修者来说还不是一个可行的选择。

随着对更优雅组合的追求，在短短几年内，这个数字从五位数缩减到个位数。很快，单瓦片似乎触手可及。

1973 年，牛津大学数学家兼物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）将标准设定为两块瓦片——通过以非周期性方式组织一对称为风筝和飞镖的形状。但之后进展停滞，最终的挑战持续了五十年。

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寻找未知

经过这么长时间，一位业余爱好者竟然领先专业人士一步完成比赛，这似乎令人震惊。事实上，史密斯甚至没有在寻找爱因斯坦瓦片。他将自己的成功归功于“主要是坚持不懈”，也许还有一点运气，“尽管我觉得我是被选中的那一个，”他说。

史密斯学院（Smith College）的荣誉退休教授、自 20 世纪 70 年代以来一直研究瓷砖铺设的玛乔丽·塞内查尔（Marjorie Senechal）指出，该领域的历史充满了非专业人士的贡献。最值得注意的是，在彭罗斯推出他的风筝和飞镖形状的同时，一位业余爱好者兼邮政分拣员罗伯特·阿曼（Robert Ammann）独立发明了一个非常相似的解决方案。

“这是一个你可以真正上手操作的课题，”塞内查尔说，她曾在 2004 年为《数学情报家》（The Mathematical Intelligencer）撰写过关于阿曼的文章。“如果你有敏锐的眼光和探究的精神，你就能发现那些试图通过理论解决问题的人找不到的东西。”

图案的数学

史密斯的独创性启动了这一切。但是，由于我们处理的是无限平面，无论如何摆弄有限的瓦片，都无法保证图案最终不会重新开始。

唯一的确定性路径？数学证明。因此，史密斯和卡普兰又招募了两位专家：阿肯色大学数学家蔡姆·古德曼-斯特劳斯（Chaim Goodman-Strauss）和英国软件工程师约瑟夫·迈尔斯（Joseph Myers）。

实际上，非周期性是小菜一碟。普通的矩形可以满足不重复的要求，即使你可以轻易地以周期性方式重新组合它们。

真正的诀窍是找到一个*仅*以非周期性方式工作的形状，一个具有恰到好处的复杂性平衡——足以打破周期性图案，但又不足以让所有图案都退化。

“这就是非周期性有趣的魔力所在，”卡普兰说。“它们必须在秩序和混乱之间进行非常谨慎的舞蹈。”

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证明非周期性

为了确保“帽子”瓦片达到那个最佳点，迈尔斯首先采用了一种由伯杰本人开创的、久经考验的方法。

它始于一组“元瓦”（metatiles），这些是简单的多边形，大致类似于小型的帽子组合。从那里，你可以将元瓦组合成超级瓦片，超级瓦片组合成超级超级瓦片，以此类推，直到无限的遥远。

他们的论文表明，这是用帽子瓦片铺设平面的唯一方法，这相当于证明了该形状永远不会陷入周期性。但随后迈尔斯又开创了一种新的证明方法，要理解它，我们需要将“帽子”瓦片分解成基本部分。

尽管这种形状看起来很奇异，但几何学家们很熟悉它，称之为*多风筝*（polykite）；以一个六边形开始，画三条连接对边的中点的线，你就得到了六个风筝。

组合其中两个或多个，你就得到一个多风筝。以一种特别幸运的顺序组合八个，你就得到了一个开创性的数学发现。正如团队在他们的论文中所写的那样，“这个形状的简单性几乎是平淡无奇的。”

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调整非周期性

“帽子”瓦片的 13 条边有两种长度，迈尔斯意识到，通过调整其中任何一组的长度，他就可以创造出具有相同性质的新形状。这意味着不仅有一个爱因斯坦瓦片，而是有无数个系列，它们沿着一个巨大的光谱相互转化。

在两个极端（长边和短边消失）以及中间点（长短边相等）处存在周期性形状，这些形状可用于确定其余形状的非周期性。

这项有趣的瓷砖证明方法为数学家们提供了思考的素材，但塞内查尔解释说，它源于更传统的策略。

“这与长期的理论有关，”她说。“这不仅将他们的工作置于瓷砖的连续体中，也置于对瓷砖的思考的连续体中。”

许多爱因斯坦瓦片中的第一个

仅仅是它的存在，就解决了一个谜团。但它也引发了新的问题。例如，除了这个系列之外，是否还存在其他的爱因斯坦瓦片？塞内查尔认为肯定存在，并且这次的成功可能会重振对这个问题的探索。

最有趣的问题之一是其非周期性的原因。卡普兰将其称为“秘方”仍然未知：“我无法指出形状的某个部分并说，‘就是这个原因’。”

荷兰数学家尼古拉斯·德·布鲁因（Nicolaas de Bruijn）最终解释了彭罗斯瓦片是五维镶嵌的二维投影。但至于“帽子”瓦片的理论解释，卡普兰说，“我们离那还差得很远。”

这种抽象的奇特之处是否能在现实世界中找到应用，还有待观察。

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让“帽子”瓦片栩栩如生

当然，它可能在室内设计方面有着光明的前景——特别是考虑到它与六边形网格的契合度。它非常适合用于厨房地板；任何拥有六边形瓷砖且足够有决心的人都可以自己绘制图案。

许多非周期性瓦片会破坏整齐的背景，“但这个，”卡普兰说，“它就那样很好地放在那里。它简直是出奇地乖巧。”

假设“帽子”瓦片最终会出现在你当地的家得宝（Home Depot），请记住，周期性排列不适合胆小的人。

“如果你只是盲目地进行，”卡普兰说，“你很可能会卡住。”而且，如果你奇迹般地找到一个愿意迁就你的承包商，“那将是一笔很大的劳动力成本。”

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