数学为人类智力缓慢但不可阻挡的进步提供了一些最戏剧性的例子。例如，1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）公布了他对费马最后定理的证明。怀尔斯使用了椭圆方程等晦涩的数学工具，而皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）在350年前首次写下这个问题时，这些工具还闻所未闻。“我对此命题有一个极其美妙的证明，但这个边距太窄，无法容纳，”费马声称。在他写下的笔记被发现之前，他已经去世了，他的证明显然没有写下来。七年里，怀尔斯秘密地在他的阁楼里辛勤工作；只有他的妻子知道他正在解开数学中最持久的奥秘之一。
就在今年八月，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）因证明了庞加莱猜想（因此被重命名为庞加莱定理）而获得了菲尔兹奖，这是数学界的诺贝尔奖。与怀尔斯一样，佩雷尔曼多年来一直在私下里工作；他发布的证明在数学界引起了轰动。这个猜想认为，最简单的三维形状都是伪装起来的球体，这一猜想已经困扰了数学家们一百多年，而佩雷尔曼的方法扩展了其他数学家的工作。但令人震惊的是，佩雷尔曼拒绝了15,000加元的菲尔兹奖，他说如果他的证明是正确的，他不需要任何其他认可。
这就引出了一个问题：还有哪些问题悬而未决？很多。数学的每个领域都有未解的谜团，数学家们时不时会选出一些来。1900年，德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）列出了23个将在20世纪指引数学方向的问题。希尔伯特的至少三个问题仍然悬而未决。2000年，位于马萨诸塞州剑桥的克莱数学研究所（Clay Mathematics Institute）确定了七个千禧年大奖难题（庞加莱猜想是其中之一）。每个难题的解决者都将获得一百万美元的奖金。庞加莱猜想是七个问题中唯一被解决的一个。这里是一些潜藏在数学幽暗世界中的伟大问题的样本。每一个都承诺为解决者赢得在数学界的一席之地。其中三个问题与百万美元的克莱奖金挂钩。
黎曼猜想
素数是只能被自身和1整除的正整数（例如2、3、5和7），并且它们似乎是随机出现的。几个世纪以来，数学家们一直试图找到它们分布的规律，但都未能成功。黎曼猜想为数学家们带来了一线希望。它通常被称为未解问题的圣杯，它暗示着，尽管素数表现出不可预测的模式，但它们有一个由黎曼 Zeta 函数的零点决定的潜在秩序。
这个函数也是大量文献的基石。“如果我们证明了黎曼猜想，成千上万篇论文可能都要被扔进废纸篓，”数学家丹·戈尔德斯顿（Dan Goldston）说。“数百名数学家将不得不改变。”研究已经验证了1.5亿多个案例中的猜想，但验证并不等于证明。有人接近了吗？“我认为我们可以比预测何时能解决这个问题更好地预测地震，”克莱研究所所长吉姆·卡尔森（Jim Carlson）说。
孪生素数猜想
圣何塞州立大学的戈尔德斯顿花了四分之一个世纪来研究素数的模式。与怀尔斯和佩雷尔曼不同，戈尔德斯顿说他喜欢公开工作。“我边走边报告，并试图引起人们的兴趣，”他说。三年前，他和他的同事耶尔迪里姆（Cem Yildirim）提交了一篇论文，如果正确，将证实这个猜想，这是数论领域的老牌猜想之一。两千多年前，希腊数学家欧几里得（Euclid）在一个常被引用的优雅证明中证明了存在无限个素数。他的结论激发了另一个猜想。一些成对的素数相差2——例如，5和7，或者41和43。在数轴的高端，这些成对的素数被称为孪生素数，它们非常稀少；尽管稀少，数学家们相信很可能存在无限对这样的素数。对孪生素数猜想的追求曾让许多数学家走入死胡同。戈尔德斯顿与耶尔迪里姆的工作存在致命缺陷，只有部分分析得以修复。但一个数学家的失误可能成为另一个人的灵感。英国数学家本·格林（Ben Green）和2006年菲尔兹奖得主陶哲轩（Terence Tao）在论文中找到了他们需要的工具，从而在素数数列方面取得了突破。这次经历也为戈尔德斯顿指明了新的方向。
纳维-斯托克斯方程
一艘飞驰的船后面卷起漩涡，一座火山爆发时冒出滚滚浓烟，一架飞机在“空”气中颠簸。所有这些都遇到了湍流，湍流只在作用于其他事物时才会出现。“大涡旋有小涡旋，它们以速度为食，小涡旋有更小的涡旋，以此类推，”物理学家L.F.理查森（L. F. Richardson）说。湍流的随机运动在生活中无处不在，但它们却极其难以建模。数学家和物理学家认为，对湍流的解释可能就隐藏在被称为纳维-斯托克斯方程的希腊字母的纠缠中。第一个方程将牛顿第二运动定律扩展到了可能经历湍流的流体；第二个方程确保流体是不可压缩的（其密度不会随着压力的波动而改变）。从血流到天气模式，这些方程在模拟湍流环境中被证明是无价的；即便如此，物理上有意义的解几乎是不可能得到的。
旅行推销员问题
可以将其视为“威利·洛曼”（Willy Loman）问题，或者考虑到节日季的贺卡雪崩，就是邮递员的困境。
一名邮递员（或洛曼先生）被指派要拜访一个给定城市里的每一户人家。如果我们知道从一户人家到另一户人家需要多长时间，那么是否可能确定最高效的路线？勇敢的探险家们通常会查看所有可能的路线，然后选择最短的一条。对于只有两户人家的城市，这个任务很容易——有两条路线。对于有四户人家的城市，有24条可能的路线（4 x 3 x 2 x 1 = 24）。在这24条路线中，应该很容易确定最佳路线。但对于一个有20户人家的城市，我们的邮递员将不得不检查大约2,432,902,008,000,000,000（24亿亿）条不同的路线，还不如随便地从邮箱到邮箱地送信。计算一个任何实际大小的城市的路线——比如有几万户人家的城市——将使世界上最复杂的计算机也束手无策。有人能写出一个能找到最有效解决方案的程序吗？这个计算复杂性理论领域的经典问题的答案，将为解题者带来克莱研究所的一百万美元奖金。
