对数学家来说，素数是一种美妙的事物。它们就像化学家的原子或遗传学家的 DNA，是构成所有整数的基本单元。任何三年级学生都可以告诉你，素数是指除了 1 之外不能被任何更小的数整除的数（例如 2、3、5、7、11、13、17 和 19）。但直到今年，数学家们才证明了一个长久存在的猜想：素数可以构成任意长的有限等差数列。
等差数列是通过从一个特定的数开始，以固定的增量递增而形成的。例如，从 5 开始，以 12 为步长递增，你会得到序列 5、17、29、41、53、65，……。在这个序列中，前五个数都是素数。因此，5、17、29、41、53 是一个五项素数等差数列。由于 65 不是素数（它可以被 5 和 13 整除），这个特定的序列无法延长到六项。其他序列可以更长吗？答案是肯定的。事实上，199、409、619、829、1,039、1,249、1,459、1,669、1,879、2,089 是一个 10 项素数等差数列，每项之间的差为 210。
到目前为止，已知的素数等差数列的最大长度为 22。已发现两个这样的序列。一个以 11,410,337,850,553 开头，步长为 4,609,098,694,200；另一个以 376,859,931,192,959 开头，步长为 18,549,279,769,020。
正如你很容易看到的，随着数字的增大，素数会越来越稀疏。但古希腊数学家们知道，它们永远不会完全消失——素数有无穷多个。尽管素数似乎以随机的方式出现，但法国的 Jacques Hadamard 和比利时的 Charles de la Vallée Poussin 在 19 世纪末证明了它们稀疏的方式存在一个隐藏的模式。（对于那些了解一些微积分的人来说，素数的稀疏方式可以用自然对数函数来描述。）因此，在看似混乱的情况下，确实存在某种秩序。
任意长的（有限）素数等差数列的存在将是另一种模式。尽管数学家们长期以来怀疑它们的存在，但直到今年，还没有人能够证明。对这个问题取得的唯一真正进展是在 1939 年，荷兰的 Johannes van der Corput 证明了存在无穷多个三项素数等差数列。然后，去年春天，当时在不列颠哥伦比亚大学的 Ben Green 和加州大学洛杉矶分校的 Terence Tao 宣布，他们已经完全解决了这个问题，证明了确实存在任意有限长度的素数等差数列。
新的证明并没有展示任何素数等差数列，甚至也没有告诉你如何找到它们。这正是数学家们所说的“非构造性存在证明”。这两位都还在二十多岁的数学家，是以匈牙利数学家 Endre Szemerédi 于 1975 年的一项成果为基础的。粗略地说，Szemerédi 证明了在任何一个不会过快变稀疏的无限数集中，都必然存在所有有限长度的等差数列。
不幸的是，素数确实会过快地变稀疏。然而，Green 和 Tao 找到了一个巧妙的绕过这个问题的方法：相对思考。如果你取所有数字并丢弃一些非素数，那么相对于这个被稀疏化的集合，素数的稀疏程度就会变慢。
你能以一种 Szemerédi 的论证仍然有效的方式进行这种修剪吗？答案是肯定的。Green 和 Tao 找到了一个无限集合，称之为x，它由所有素数以及一些与它们的大小相比因子较少的非素数组成，对于这个集合，Szemerédi 的结果仍然适用。因此，x 的任何一个不会相对于x 过快变稀疏的无限子集都将包含所有有限长度的等差数列。由于素数相对于集合x 的稀疏速度并不算太快，这意味着存在所有有限长度的素数等差数列。证毕。
