加州大学伯克利分校的数学家 Allen Knutson 以复杂的模式在空中抛接五个球。Knutson 经常在课堂上杂耍，以展示离散数学的基本原理：一个输入（或抛球）不可避免地会产生一个输出（或落下的球）。
Allen Knutson 的办公室很乱。角落里有一辆漏气的独轮车，旁边是 Bongo Board，还有一堆毛茸茸的蜥蜴在纸堆和书堆中爬来爬去。电脑显示器朝下放在桌子上，电源插头也拔了。但 35 岁的 Knutson，加州大学伯克利分校的终身数学教授，却完全专注于眼前的挑战。他留着长发，留着胡须，显得瘦弱，气质宁静而超凡脱俗，他一边在空中抛接四个球，一边平静地念出一串数字：“6-6-1-5-1-5-6-6-1-5-1-5-6-6-1-5-1-5……”
Knutson 是代数组合学方面的权威，该领域涉及多维空间中相交线的计数等内容。他念出的数字序列对于了解 siteswap 的人来说会很熟悉，siteswap 是一种描述杂耍表演的数学语言。Siteswap 通过为每次抛球分配一个数字来编码动作。3 表示一个大约下巴高的抛球，空中停留约三拍；大多数新手在学习抛接三个球时会不断重复抛出 3。6 表示一个越过头顶的抛球，在空中停留的时间大约是 3 的两倍，以此类推。奇数抛球在两手之间传递。偶数抛球由同一只手抛出并接住。2 表示一个被握住的球，0 表示空手。
存在无数种可能的序列，但该系统仍然是有序的——至少在其最简单的形式中——并遵循一条铁律：无论节奏如何，杂耍者的手一次只能抛出一个球。这意味着给定抛球序列中数字的平均值必须始终等于抛出的球数：5-5-5-1 毫无疑问是一个四球模式。
Siteswap 的美妙之处在于，它使杂耍者能够写下并试验表演。一个单调的表演，其中三个球以完全相同的高度在左右手之间来回移动，可以被替换为一个像 4-4-1 这样的序列，其中两个球上下往复地 yo-yo，每个球在空中停留四拍，而第三个球则在腰部高度从一只手抛到另一只手。
这个系统在数学上非常优雅，并且其符号非常简洁，以至于现在有一个小众的 siteswapping 数字杂耍爱好者群体，这是一群极客、主要是男性计算机程序员、学者和工程师，他们回避花哨的技巧——例如，链锯杂耍——而青睐于诸如抛接 10 个球等高超的挑战。前 AT&T 首席科学家 Ron Graham 是一个 siteswapper，俄勒冈州波特兰市里德学院的大部分数学系教职人员也是。Siteswap 甚至偶尔会产生一些论文，例如几年前发表在《离散数学》上的“Juggling and Applications to q-Analogues”。
Allen Knutson 于 1987 年成为这个群体的一员，当时他还是加州理工学院（可能是杂耍界的顶级据点）的一名新生。那时他是一个《龙与地下城》的爱好者，也是一个电子游戏迷，喜欢复杂的、快速的键盘操作。（“你没有时间做任何事情，除了直接计算，”他解释道。）他在杂耍中找到了同样的禅意。精确的手部动作将他带到了“超越情感，达到思维清晰的境界”，他说。他每天练习一个小时，很快就达到了世界级水平。1990 年，Knutson 和他的朋友、加州理工学院物理学专业的 Dave Morton 一起抛接了 12 个球，创造了一项保持了五年才被打破的世界传递记录（参见第 2 页底部的框）。
Knutson 自己仍然可以抛接七个球，但他现在已经半退出杂耍界了。他的抽屉里有大约 20 个闪亮的球，部分是为了向学生展示如何消化复杂的数字集。他的方法始终是低技术。虽然许多杂耍者依赖于生成可能的抛球序列的计算机程序，但这类程序往往会提出大量审美上单调乏味的序列。Knutson 更喜欢从零开始，仅凭直觉，潦草地写下带有箭头的小排数字，描述球的轨道。例如，在思考五球 3-4-5-6-7 模式时，他可以确定第一次抛球 3 将在三拍后落下，此时正在抛出 6。
3-4-5-6-7
4 将在空中停留四拍，在第二次抛出 3 时落下
3-4-5-6-7-3
5 将漂浮五拍，并在下一个 5 飞起时落下
3-4-5-6-7-3-4-5
大约五秒钟内，Knutson 可以看到 3、6、7 和 4 在单个轨道中旋转，而 5——总是落回原处——在混乱中独自跳着孤单的、自恋的舞蹈。
数字杂耍
Siteswappers 为杂耍表演中的每次抛球分配一个数字。数字越大，抛球越高。奇数抛球在手与手之间传递，偶数抛球则留在同一只手中。“你甚至可以进行 -1 的抛球，”Allen Knutson 沉思道。“那将是时光倒流，变成反物质。”
在交换网站时，杂耍者会变异轨道并遵循一个简单的规则：你可以增加一个序列中某个抛球的高度，只要你同样降低另一个稍后落下的抛球的高度——同时还要注意它晚了多久。如果只差一个抛球，你可以将高度增加一。换句话说，上面提到的 4-4-1 可以进一步变异成 5-3-1，其中一个球持续进行 3 的动作，而另外两个球则在 5-1 的轨道中飞舞。
有时，为了好玩，siteswappers 会设计出 Knutson 称之为“仅限杂耍者”的技巧，这些技巧难以想象，其难度只有内行人才看得懂。Knutson 最引以为傲的发明是五球技巧 8-5-7-4-1，它迫使杂耍者从每只手中抛出高高的 8，同时不断换挡，以在极短的时间内完成各种各样的小抛球。“我发明这个是为了惹恼 Bruce Tiemann，”Knutson 得意地笑着说，他指的是一位加州理工学院的毕业生，许多人认为他是世界上顶级的数字杂耍者。“他说：‘哦，我能做到。’然后，几个小时后，他沮丧地放弃了。”
到目前为止，Knutson 已经穷尽了大多数可能的杂耍序列。“要么我已经掌握了它们，要么它们就是我无法企及的，”他说。“那是八球或九球的模式——我做不到的事情。”所以去年秋天，他和一位名叫 Peter Dolan 的伯克利本科生一起，开始研究杂耍中的随机性。
纯粹的随机性发生在一个假设的杂耍者抛出的球停留在空中一、二、三、四或五拍的可能性相等时。Knutson 和 Dolan 想知道当一个随机的杂耍模式变得越来越可预测时会发生什么。是否存在一个数学上的“冻结点”，介于随机性和可预测性之间，就像区分液态和固态的相变一样？
在他们工作的过程中，Knutson 和 Dolan 正在演变一个参数 q，它表示一个杂耍序列在随机性和可预测性之间的连续体上的位置。例如，如果他们发现杂耍表演在 q 为 32 时冻结，那么计算机化的杂耍程序就应该能够使用该参数来剔除 Knutson 所说的“愚蠢而无聊”的序列，而只关注最令人愉悦的序列。Knutson 的冻结点对 siteswappers 来说有一种神奇的光环——就像音乐家一样，他们渴望在死记硬背的可预测性和随机的挥舞手臂之间找到一个折衷点——他和 Dolan 相信他们几乎找到了。“我们所
传递杂耍球的世界纪录是由美国人 Joey Cousin 和 Bruce Sarafian 创造的，他们在 1995 年抛接了 13 个球 54 次，在 1997 年抛接了 13 个球 176 次。Sarafian 还保持着单人抛接球最多的记录：10 个。他曾经有一辆汽车，佛罗里达州的牌照写着“11-BALLS”。
寻找的点确实存在，”Knutson 说。数学家们只需要再深入一些。他补充说，一个好的定理就像一次好的杂耍表演：“它结构严谨。它合乎情理，同时也带来令人愉快的惊喜。”
