今年4月17日，一位相对不为人知的、五十多岁的华裔数学家——他来到美国后曾打过零工，包括在一家三明治店工作，后来才加入新罕布什尔大学的教职员工——宣布了一项震惊数学界的发现。张益唐（“Tom”）刚刚解决了数论中最顽固的谜团之一，英国著名数学家G. H. Hardy曾将其描述为“目前超出了数学能力范围”*。自从希腊数学家亚历山大港的欧几里得2300年前证明存在无限多个素数以来，数学家们一直对孪生素数的存在很感兴趣，孪生素数是指两个相差为2的素数——例如11和13；17和19；29和31；以及41和43。除了第一对素数2和3相邻之外，所有其他素数对之间必须至少相隔一个数，因为大于2的偶数不能是素数（因为它们可以被2整除）。数学家们一直想了解素数对的行为，特别是相隔一个数的素数对，例如上面例子中的孪生素数。他们的追寻甚至有一个名字，叫做“孪生素数猜想”，它提出了这样一个问题：是否存在无限多对孪生素数？
越来越稀有
这种兴趣的原因是，随着自然数（正整数）的增长并趋向无穷，素数变得越来越稀有。例如，在第一组100个正整数中有25个素数；小于等于1000的最后100个数块中，只有其一半多一点，有14个素数；小于等于1,000,000的最后100个数块中有8个素数；而小于等于一万亿的最后100个数中，只有四个素数。所以我们注意到随着数字的推进，素数的密度持续缓慢下降。素数下降率的理论估计是由著名的素数定理给出的，该定理由卡尔·弗里德里希·高斯于1792年提出，并在一世纪后由雅克·阿达马和查尔斯·德拉瓦莱普桑证明，它指出一个数n之前的素数数量大约是n/ln(n)，其中ln是自然对数。但是随着素数变稀，素数对会发生什么？数学家们世代都在思考这个问题。素数对之间的间隔是否会越来越大，正如素数本身稀疏化所预期的那样？或者随着数字不断向无穷大前进，素数对之间是否总是存在恒定的间隔？
素数间隙
正是在这种背景下，张益唐的新定理出现了，并从中获得了重要性：张益唐的研究表明，随着数字的推进，总是存在相差最多70,000,000的素数对。因此，它实际上是说存在无限多对素数，它们之间的“距离”（即它们之间数字的间隙）最多为70,000,000。当然，这个数字很大，但这里重要的是原则。他的证明表明，虽然素数的密度确实持续下降，但仍然存在保持给定距离的素数对——而不是随着数字趋向无穷大，这个距离必然变得越来越大。
这项发现可能朝着证明孪生素数无限性的类似证明迈出了一步——从而解决了著名的“孪生素数猜想”。
一项艰巨的任务
几年前我在新罕布什尔大学数学系任教时，张益唐是我的同事，我记得他多年来在走廊里深思熟虑：一位数学家独自一人日以继夜地工作，才能得出这项惊人的数学发现，这是一项艰巨的任务。但完成了这项任务，他掀起了一场解析数论领域的革命，解析数论是利用分析方法证明数论结果的数学领域。张益唐成就的价值超越了他证明的关于素数对的事实。通过他的工作，张益唐开创了一种分析素数对行为的新方法（基于其他数学家开创的工作）。在张益唐的方法中，一个复杂方程中两个相互竞争的项之间保持着微妙的平衡。其中一项要求张益唐使用的指数不能太远高于1/4，而另一项“希望”它不能太远低于1/4（将一项提升到1/4次幂意味着取其四次方根）。张益唐通过在指数1/4上加上一个小数项1/1168来解决了这个问题。当我们问他为什么使用这个特定的数字时，他回答说：“我累了……这个数字奏效了。”**正是1/1168这个值导致了两个素数之间70,000,000的间隙。因此，数论学家们纷纷尝试修改系数1/1168，从而减小素数之间的间隙。
在线寻找素数
素数研究长期以来一直将互联网作为协作工作的工具。有些人可能知道大互联网梅森素数搜索 (GIMPS)——一项持续寻找越来越大的素数的任务。GIMPS 通过分布式计算工作，这意味着世界各地的许多人通过贡献他们的计算机来执行统一大规模素数搜索中的部分任务，从而参与到这项积极的搜索中。目前的记录是在2013年1月25日创造的，当时发现了素数2^57,885,161-1。这是一个有17,425,170位数字的数！一旦他们得知张益唐的结果，解析数论领域的数学家们决定通过互联网以类似的方式联合起来，竞相缩小连续素数之间的间隙。6月5日，澳大利亚国立大学的T. S. Trudgian在一篇在线论文中宣布，他已将素数距离从张益唐的7000万缩小到6000万。其他结果也紧随其后，数学家们进一步缩小了间隙（通过调整张益唐最初的常数1/1168，并使用其他技术改进），先是缩小到几百万，然后是几十万，现在甚至更低。加州大学洛杉矶分校的陶哲轩，一位前神童，麦克阿瑟（“天才奖”）研究员，以及2006年菲尔兹奖得主，承担了这一领域的领导，现在在一个名为Polymath8的项目中协调素数间隙的互联网竞赛。陶哲轩最近的一封电子邮件宣布了最新结果：素数之间最多只有12,006个数字的间隙，并且有一个暂定的间隙只有6,966个——这取决于一些技术条件的验证。详细信息请参阅上面的链接。陶哲轩在Polymath8上提醒说，要最终解决著名的“孪生素数猜想”可能需要更为复杂的工作。然而，现在有如此多的智力协作解决这个问题，也许我们将在不远的将来看到这个古老谜团的最终解决方案——既然张益唐的方法指明了一个方向，解决了一个密切相关的问题，并开辟了前进的道路。* G. H. Hardy和E. M. Wright，《数论导论》，第五版，Clarendon出版社，牛津，1989年，第5页。**张益唐，“素数之间的有界间隙”，2013年6月4日在马萨诸塞大学波士顿分校数学系的演讲。图片由pashabo / Shutterstock提供
