新泽西州罗格斯大学的数学家马丁·克鲁斯卡尔有两位兄弟，他们也都是数学家。“我哥哥最大的孩子五岁的时候，”克鲁斯卡尔回忆说，“他和小伙伴争论是否存在最大的数字。毫无疑问，他们谈论的是自然数——1、2、3等等。我侄子说没有，他朋友说有。第二天我侄子去找他的小朋友说：‘我问过我爸爸了，他是个数学家，他说没有最大的数字。’而另一个小朋友说：‘嗯，我问过我爸爸了，他说有，他是个律师。’”
克鲁斯卡尔父子当然是对的。（尽管去告他们吧。）他们的论断很容易证明——每当你觉得找到最大的数字时，只需加一，新数字就会更大。
数学家和早熟的五岁孩子长期以来一直对数字的无穷无尽着迷，他们将这种无穷无尽命名为“无穷大”。无穷大不像1、2或3那样是一个数字；它究竟是什么，很难确切地说。更难想象如果你试图用适用于数字的算术运算来操作它会发生什么。例如，如果你把它分成两半会怎样？如果你乘以2会怎样？1加无穷大是大于、小于还是等于无穷大加1？如果你从中减去1会发生什么？如果你将数字1分成无限多个相等的部分会得到什么？如果你将那个微小的答案自乘，结果会更大还是更小？
二十年前，英国数学家约翰·康威仅凭几条简单的规则和概念，就弄明白了如何从这些看似荒谬的问题中提炼出意义。他通过开发一种技术做到了这一点，该技术产生了你曾想象过的每个数字，以及数不尽的更多数字——超现实数。康威并没有想出这个引人注目的名字。那是斯坦福大学计算机科学家唐纳德·克努特（现已退休）的创造，他在听康威在一次非正式演讲中描述这些数字后，写了一本古怪的小说。康威说：“克努特的书是第一本关于这些数字的出版物。我总是很懒惰地发表东西。”
这些奇特的数字线居民潜伏在它的缝隙中，它们是如此巨大或微小，以至于以前的数学家从未知道它们的存在。然而康威发现了它们，并找到了像它们的普通数值邻居一样在算术中使用它们的方法。自从那次重大的发现以来，克鲁斯卡尔一直忙于扩展和完善康威的工作。最终，如果一切顺利，克鲁斯卡尔的努力将会在数学领域留下明显的印记。
在某些方面，康威和克鲁斯卡尔是一对奇怪的搭档，他们正在解决同一组问题。克鲁斯卡尔，现年70岁，曾创立并主持普林斯顿大学应用数学项目，并在普林斯顿等离子物理实验室工作多年，之后转到罗格斯大学。他将自己的数学风格描述为一种顽强的坚持，提出问题而不满足于肤浅的答案。他有着令人惊叹的有序思维；他追踪所有的旁支，关闭所有的括号，并阐释每一个观点。他最喜欢说的话是“让我给你一个简单的例子……”。
与此相反，康威称自己为“数学喜鹊”。他说：“我喜欢闪闪发光的东西，而这通常意味着它们有点俗气。喜鹊只是捡起一块镀金的塑料。我有品味，但我并不经常运用它。所以我很可能会做一些不值得做的事情，就像做一些值得做的事情一样。”这句话流露出一种不诚实的气味——毕竟，康威，57岁，是现存最受尊敬的数学家之一。克鲁斯卡尔谈到他的这位年轻同事时说：“他只是一个普通人，你懂的，他无疑有他的缺点，但他让我感到敬畏。我几乎崇敬他所做的一切，以及他巨大的洞察力。和他交谈是一种乐趣。他比任何人都理解得更快。”
两人确实有一些共同点：例如，他们都早早地开始了数学生涯。康威在利物浦长大（他的父亲在那里给披头士乐队中的两个人教过高中化学）。他说：“我四岁的时候，我妈妈发现我在背诵2的幂。”克鲁斯卡尔在纽约新罗谢尔长大，他哥哥在他六岁时教他代数。这位“斗牛犬”和这位“喜鹊”还都对折纸感兴趣，并对超现实数的简洁性充满热情，这种简洁性让他们觉得世界是有序的。
+++
要理解这些新数字的全部含义，了解旧数字会有所帮助。十九世纪末，数学家和哲学家们急于通过规范前几代人只凭直觉理解的许多概念，为数学奠定严谨的基础。其中最重要的概念之一就是数字：它们究竟是什么，以及如何创建和使用它们？数学家们给自己设定了用尽可能少的工具构建数字的任务。
从历史上讲，首先出现的是自然数，或计数数——1、2、3等等——这给克鲁斯卡尔的侄子带来了如此大的困扰。每当你把两个自然数相加，结果会是另一个自然数。数学家称这种性质为闭合性，它给他们一种温暖、安全的感觉。闭合性对于他们的算术运算才有意义是必要的。自然数在加法下是闭合的，但减法就不能这么说了：虽然7减5是自然数2，但5减7却得不到正整数。
为了解决这个难题，数学家们添加了一些额外的数字：负数（用于描述债务）和零。自然数、负整数和零一起构成了一组数字，称为整数。每当你对任意两个整数进行加、减或乘运算时，你都会得到另一个整数。到目前为止，一切顺利。但是当你尝试除法时会发生什么呢？有时没有问题：-34除以2是-17。但是-17除以2就不是整数了。
现在怎么办？当然是加入更多的数字。数学家们构想出了有理数，它们可以用来描述一块馅饼或一片王国。这些是除了零以外，任意两个整数相除得到的比值。（每个整数都是有理数——只需将其除以1即可。）有了有理数，你可以自由地进行算术运算，但代数则是另一回事。有理数在代数函数（如求平方根）下不是闭合的。（根据传说，当希腊哲学家毕达哥拉斯证明2的平方根不能写成两个整数的比值时，他非常失望，以至于跳崖自尽。）显然，需要更多的数字。
接下来是实数，可以将其视为数轴上的点。它们由有理数和无理数组成——像2的平方根和圆周率π这样的数字，它们的十进制展开永不停止，也永不以固定的重复模式结束。当你将有理数写成十进制形式时，它要么在有限位数字后终止，要么会永远重复某种数字模式。
当然，实数在代数函数下并不完全闭合，因为负数没有实平方根（负数乘以负数是正数）。数学家通过设想一个自身相乘得到-1的数来解决这个问题。这个数称为 i，它产生了另外两个系统，即虚数和复数。但我们不会真正关注这些系统，因为与其他系统不同，它们不是完全有序的。
在一个完全有序的数字集合中，如果你观察任意一对数字，其中一个将大于另一个，并且如果一个数字大于另一个，而另一个又大于第三个，那么第一个数字也将大于第三个数字。像许多数学性质一样，完全有序可能看起来比实际更清晰。例如，假设我和你每次打乒乓球，我都会轻松取胜。你和厄内斯汀打球时，你都会把她打得落花流水。但厄内斯汀有一个我无法回击的刁钻发球，所以每当我遇到她时，五分钟后我就会绝望地放下球拍。谁是最好的乒乓球选手？显然我们都不是。所以数学家会说，你、厄内斯汀和我，在乒乓球比赛的胜负上并非完全有序。
整数、有理数和实数都是完全有序的。其中一些数字可能看起来有些怪异，无法用无限长的十进制字符串来表示。它们可能看起来非常大或非常小。（康威评论道：“四是一个非常大的数字。我有四个女儿——更不用说两个儿子了。”克鲁斯卡尔，三胞胎的祖父，则评论说“三有时会显得超现实”。）但至少它们都是有限的。在19世纪70年代，一位名叫格奥尔格·康托尔的德国数学家发现了一个新的数字系统，称为基数和序数，克鲁斯卡尔说，这“首次包含了真正的无限个别数字”。在康托尔之前，人们认为无限是一个无差别的广阔。然而，康托尔用他的序数和基数表明，这种广阔具有结构。有些无限数比其他无限数更大。例如，整数有无限多个，实数轴上的点也有无限多个。但点的数量比整数的数量更多。
尽管大多数人都接触过整数、有理数和实数，或许是在高中三角函数课上，或许是在超市收银台，但序数却不那么为人所熟知。然而，它们对于超现实数至关重要。康威自豪地说：“实数与普通整数的关系，就像超现实数与序数的关系一样。能够发现这些东西的正确扩展、正确的类比，这些无限整数，确实是一件了不起的事情。康托尔发现了无限整数，而一个世纪后，我发现了无限分数。”
康托尔设计他的序数是为了描述特定集合的大小和顺序，这些集合是他开创的集合论领域的基本要素。在康托尔的时代，一个集合意味着任何种类不同对象的集合——人、铅笔、数字。克鲁斯卡尔说，要得到一个序数，你需要取一个有序集合，然后抛弃其他一切，所有元素之间的特殊关系，你仍然会剩下顺序和集合中元素的数量。因此，序数是原型有序集合——它只是一个除了总大小和顺序之外所有属性都被洗掉的集合。
有限集的序数就是自然数；无限集的序数称为超限序数。描述自然数集的大小和顺序的序数称为欧米伽。到目前为止，还没有问题。但如果你打算用这些小家伙进行大量算术运算，你会发现它们一无是处。有限序数的加法运作良好——你只是在加普通的整数。但如果你想把一个超限序数（称之为 n）加到一个有限序数（称之为 m）上会怎样？超限序数比有限序数大得多，它会将其完全吞噬，不留痕迹；m + n = n。克鲁斯卡尔懊恼地说：“康托尔的序数在算术上是有限的，就像自然数一样。我们又回到了原点！”
当有疑问时，就再引入更多的数字——这次是超现实数。克鲁斯卡尔说：“在人类的整个智力史上，只有少数几个真正的完全有序数系：自然数、整数、有理数、基数和序数。通过一种方式，序数被扩展到算术和代数自由，这种自由是通过早期系统一步步艰辛赢得的！”
+++
超现实数是如何运作的？想象一下，就像姿势专家喜欢建议的那样，你的头顶系着一根绳子，你正被它悬吊着。感觉到你的脊椎排列得笔直吗？现在想象一下，你的脊椎，不是在头骨和尾骨处停止，而是沿着那根绳子永远延伸，超越你的头顶，越过最远的星星，穿过地球，到达你的脚下，永不停止。理解了吗？很好。现在想象一下有一个小问题：你的脊椎某处，你有一个够不到的痒痒。
“你挠我一下，我挠你一下。”一个友善的外星人提议道，它的指甲定位在你肩胛骨之间的椎骨上。“告诉我痒在哪里。”
“向上，”你说。外星人向上移动了一个椎骨，但还没有碰到痒处。“向上，向上，向上，向上，向上，”你重复着，每说一次“向上”，外星人的指甲就向上移动一个椎骨。大约40次“向上”后，你感觉到外星人快要接近了，但在第44个椎骨处，你知道它过头了。痒处在第43和第44个椎骨之间。“向下，”你说。外星人将指甲向下移动了半个刻度，到第43和第44个椎骨的中间点。不幸的是，它又过了痒处。“向上，”你指示道。这次它向上移动了四分之一个刻度，到它先前位置和第44个椎骨之间的中点，到达了第43和第44个椎骨之间四分之三的路程处。“就在那儿，”你说，外星人抓了一下。啊！
外星人刚刚抓挠的地方是由你给外星人的方向指定的——44个“向上”，接着是1个“向下”和1个“向上”。如果将每个“向上”替换为“向下”，反之亦然——即44个“向下”后跟1个“向上”和1个“向下”——外星人的指甲会移动到你肩胛骨之间开始位置下方43¾个椎骨的地方。如果没有“向上”或“向下”的序列，就会告诉外星人抓挠那个原始位置。“向上，向下，向下，向上，向下，向上”会将外星人的指甲带到肩胛骨之间原始位置和第一个椎骨之间11/32处的地方。
在有限的时间内（也就是说，通过有限次数的“向上”和“向下”），你能指导外星人抓挠哪些痒处？每当你发出“向上”或“向下”的指令时，外星人都会移动它的指甲一个椎骨，或者两个椎骨之间距离的一半，或者四分之一，或者八分之一，或者十六分之一，以此类推。因此，能够被有限次抓挠的痒处将是发生在整数或二进分数（分母是2的幂的分数）上的痒处。
现在假设你的痒处在第2和第3椎骨之间三分之二的位置。“上，上，上，”你说。这会把你带到第3椎骨。“下，”你补充道。这会带你到2½，还不够远。再一个“上”把你带到2¾——太远了。再一个“下”把你带到2⅝，又太低了。“上下，上下，上下，”你说，每次都越来越近，但从未完全达到三分之二的标记。要达到它，你必须永远重复“上下，上下，上下”。在永恒的尽头，经过无限次“上下”后，外星人的指甲抓挠到你背部第2椎骨后三分之二椎骨的位置。啊！
如果你的脊柱是一条数轴，你背上的痒点就是数字，既然你给外星人的每一组指令——那些“向上”和“向下”的字符串——都指定了唯一的一个痒点，你也可以将这些指令视为数字。这些就是超现实数：可以用一段长度为某个序数的“向上”和“向下”的字符串来指定的数字。每个整数都是有理数，每个有理数都是实数，同理，每个实数也都是超现实数。然而，有许多许多非实数却是非凡的超现实数。
就像你可以将有理数写成无限循环小数一样，你可以通过使用独特、无限循环的“向上”和“向下”字符串来指导外星人，从而指定任何非二进位、有理位置的痒点。（而且，就像你可以将无理实数写成无限长、不重复的小数一样，你可以使用无限长、不重复的“向上”和“向下”字符串来指定实数、无理痒点。）但并非所有无限重复的“向上”和“向下”字符串都表示有理数。
比方说，你的脊柱无限长，在最远的地方有一个痒痒。你对外星人说：“向上。”“向上，向上，向上，向上，向上。”你不停地重复“向上”，直到永远，然后外星人抓挠。那个点叫做欧米伽（用希腊字母 ω 表示），就像康托尔的序数，它描述了所有正整数的集合。它不是有理数也不是实数；它太大了。欧米伽是所有实数中最大的最简单的超现实数。
现在假设你的痒处刚好在零点上方一点点。（把零想象成外星人指甲开始的肩胛骨位置。）“上，”你说。指甲移到第一节椎骨，这太远了。“下，”你说，“下，下，下。”你不停地说“下”，每次外星人都会把指甲移向零点更近，但它并没有完全到达痒处。你不停地重复“下”，直到永远。当“永远”结束时，外星人挠到了一个在零点上方但低于所有正实数的位置。克鲁斯卡尔称那个位置为“iota”（ι）；它是最简单的无穷小超现实数，是大于零但小于所有正实数的最简单的数。
两次“向上”后跟无限多次（即欧米伽次）“向下”，将告诉外星人抓挠你第一节椎骨上方“iota”处。一次“向下”后跟欧米伽次“向上”，将得到“iota”在零点下方的一次抓挠。“向上，向上，向下，向上”后跟欧米伽次“向下”，将得到“iota”在1½上方的一次抓挠。等等。
克鲁斯卡尔用向上和向下的箭头来表示这些“向上”和“向下”的字符串；例如，他会将数字 ¾，即“上、下、上”，写成：↑↓↑。当某一段“向上”和“向下”重复欧米茄次时，他会在上面加一个圆弧帽，所以欧米茄会是 ↑(cap)，⅓ 会是 ↑↓↑(cap)↓(cap)，而负 iota 会是 ↓↑(cap)。
现在轮到外星人脊椎发痒了。它提醒你你们交易的一半。然而，外星人的解剖结构比你的要复杂得多。首先，它有无限多个无限长的脊椎。“上，上，上，”它永远地告诉你，当永远结束时，你到达了外星人的第一个欧米茄点，↑(cap)。你已经准备好抓挠了，但外星人阻止了你。“不，还差一点。再往上一个椎骨。”
要到达欧米茄点，你必须经过外星人第一个脊椎上的所有椎骨，所以这些指令会把你带到它的下一个脊椎上。（事实上，把第一个脊椎的欧米茄点看作第二个脊椎的零点很有用。）外星人指定的痒处，↑(cap)↑，是那个新脊椎上的第一个正椎骨。现在假设一旦你到达欧米茄，外星人却说“向下”；那个点将是第二个脊椎上的第一个负椎骨。如果外星人告诉你欧米茄个“向上”，然后是另一个欧米茄个“向上”，然后是额外的“向上”，↑(cap)↑(cap)↑，你就会到达第三个脊椎上的第一个正椎骨。就像一个“向上”后跟一个“向下”得到½一样，欧米茄个“向上”后跟欧米茄个“向下”，↑(cap↓(cap)，得到半个欧米茄。而欧米茄个“向上”，后跟欧米茄个“向上”，后跟欧米茄个“向上”，以此类推欧米茄次——写成 ↑(cap)↑(cap)↑(cap)...=↑(2cap)——会将你的指甲穿过外星人背部所有欧米茄个脊椎上的所有椎骨。
现在怎么办？当你超越所有欧米伽脊椎时会发生什么？嗯，我有没有提到外星人有无限多个背部？确切地说，有欧米伽个。要把你送到某个点，比如，第八个背部上负第五个脊椎上第二和第三椎骨之间三分之一的路程，外星人只需告诉你
↑(2cap)↑(2cap)↑(2cap)↑(2cap)↑(2cap)↑(2cap)↑(2cap)↓(cap)↓(cap)↓(cap)↓(cap)↑↑↑↓(↓↑)。
哦，顺便说一句，外星人有欧米伽个身体，每个身体有欧米伽个背部。实际上，它由欧米伽个欧米伽身体的集合组成，每个身体都有欧米伽个背部。此外，还有欧米伽个欧米伽身体的集合——嗯，你懂的。外星人发痒的背部是无穷无尽的。
正如你想象外星人背部所能得出的那样，超现实数具有相当复杂的结构。首先，与没有孔洞的实数轴不同，超现实数轴上布满了裂缝。例如，有限数和正无穷大之间有一个巨大的裂缝。（这个特定的裂缝就是人们谈论无穷大时通常所指的。）在无穷小数和正实数之间还有另一个裂缝。还有一个裂缝将零与每个正数分开。（那个不算真正的裂缝；我称它为“割”，克鲁斯卡尔说。它很像零，但它并不是一个真正的数字。）这些裂缝和割可以用长度大于任何序数的箭头序列来表示，它们无处不在。你可以在任何一对数字之间找到一个。
+++
为了使超现实数比序数更有用，我们必须能够对它们进行算术运算。这意味着要定义熟悉的运算——例如加法、减法、乘法、除法、乘方、对数等等——使它们对超现实数和对普通实数一样有效。克鲁斯卡尔称之为“先行性”的概念使这些定义成为可能。
取一个超现实数，在经过一定数量的向上和向下操作后将其截断。丢弃截断点之后的所有向上和向下操作。剩下的数字称为第一个数字的截断。当然，它可能有无限多个箭头：例如，↑(cap) 是 ↑(cap)↑↑↑ 的截断。如果一个超现实数是另一个数字的截断，那么它被称为比另一个数字“更早”。
“更早”不一定意味着“更小”。一个数之所以小于另一个数，是因为它们不相等，并且在它们首次出现差异的地方，它要么停止，要么在另一个数停止或向上的时候向下。正如你思考外星人的背部时可以看到，↑↑ 比 ↑↑↓↓↓ 更早，但更大。而且，给定一对数字，不一定是一个比另一个更早——想想 ↑↓↓↑(cap) 和 ↑↓↑↓。所以超现实数在“先行性”下不是完全有序的，它们只是部分有序。然而，很容易看出，如果一个数比另一个数更早，它的箭头序列会更短。
最早的数字是空序列，即零。你可以通过在任何数字开始之前将其截断来得到零。接下来的两个最早的是向上和向下——即1和-1——因为每个箭头序列都以向上或向下开始。然后是向上向上，向上向下，向下向上和向下向下——即2，½，-½和-2。以此类推。
先行性为超现实数提供了一种独立于大小的顺序。先行性排序具有另一个重要性质：每个非空数字类别至少有一个最早的数字（请记住，并非一个类别中的所有数字都能在先行性上进行比较——两个或更多数字可以是类别中最早的）。这个性质使得数学家可以使用先行性排序来寻找定义和证明，并进行其他重要的数学活动，依赖于一种称为超限归纳法的方法。归纳法原理指出：如果当一个陈述对所有比 x 早的数字都为真时，它对 x 也为真，那么它对所有超现实数都为真。
康威、克鲁斯卡尔和他们的同事们使用归纳法定义了从加法开始的所有重要运算，甚至包括微积分中的微分。对于普通的实数，这些定义给出了与传统定义完全相同的结果，但是，正如克鲁斯卡尔所指出的，它们要简单得多。此外，它们对于欧米伽和伊奥塔等新奇的超现实数也很有意义。
这些定义让超现实主义者能够提出这样的问题：哪些超现实数可以被认为是整数的类比？如果有的话，哪些是素数？哪些是有理数——也就是说，哪些可以写成两个超现实整数的商？最后一个问题有一个令人惊讶的答案。康威和克鲁斯卡尔各自提出了一个合理的超现实整数定义，这些定义结果是等价的，并且根据这些定义，任何实数乘以欧米伽都是一个超现实整数。因此，在超现实系统中，每个实数都是有理数，甚至包括2的平方根——只需将其写成 (√2ω)/ω。要是有人早点告诉毕达哥拉斯就好了。
直到克鲁斯卡尔和他的同事们试图定义积分（微积分中计算函数图所围面积的运算）时，他们才遇到了麻烦。克鲁斯卡尔说：“我们的定义适用于实值函数，但不适用于超现实函数，因为超现实数轴上存在空隙。我正在努力修复它，但我看不出有什么简单的方法。”
“马丁的项目，如果成功，将是绝妙的，”康威说。“这将使他能够找到迄今为止只有近似解的方程的精确解。”
即使没有一个可用的积分定义，克鲁斯卡尔也可以用超现实数做很多事情。（你可能需要一些超出计数和抓痒的数学知识才能理解他的应用，所以不必太担心细节。）例如，既然数字的主要用途之一是测量数量，你可能会期望一组新的数字能让你测量以前没有好尺子的东西。事实上，超现实数恰好是评估函数增长速度的理想工具。回想一下高中代数，某些函数的图表在达到 x 轴上特定点时会趋向无穷大。但是它们多快能到达那里呢？超现实数及其微妙的无限数种类，是研究这些渐近函数的完美工具。
数学家们发现另一个非常有益的技巧是将数字或函数分解成更简单的组成部分。通过将一个难以处理的量写成越来越小的项的和，你可以越来越接近这个难以处理的量。当康威开始研究超现实数时，他试图描述它们的解剖结构；后来克鲁斯卡尔提出了一种强大、复杂而精确的解剖方法，基于某些无法再分解的超现实数。他称这些数为“奇行数”（travagances），分为两种：外溢数（extravagances）和内嵌数（intravagances）。
外溢数是一个正数，无法通过对早期数字执行有限次代数、对数或指数运算得到。最早的外溢数是欧米伽：无论你将有限个有限数相乘多少次，无论它们有多大，或者将有限数反复提升到有限次幂多少次，或者类似的操作，都无法让你得到欧米伽。当然，除了欧米伽之外，还有很多很多其他的。如果一个外溢数是一个极大的（或极小的）数，那么一个内嵌数可以被认为是一个极端的中间数，一个非常、非常、非常深入地嵌入在另外两个数之间的数。
克鲁斯卡尔使用“奇异数”来研究他所谓的“良好函数”，即可以用熟悉的公式（由普通的旧运算组成）来描述的函数。当这些函数遇到超现实数时会发生什么？当它们遇到超现实数轴上的“空隙”时又会怎样？由于其中一个“空隙”是无穷大，这是一个相当重要的问题。人们总是试图弄清楚各种函数在越过无穷大时究竟会做什么。为了找到答案，克鲁斯卡尔插入一个精心选择的奇异数，他称之为“幽灵”。“幽灵”代表超现实数轴上的一个“空隙”，但因为它实际上是一个数字，你可以像操作任何其他数字一样操作它。
+++
当康威发现超现实数时，他并没有刻意寻找它们。“超现实数实际上来源于游戏，”他解释说。“我当时试图理解如何下围棋——日本的棋类游戏，用棋子在棋盘上玩。我们剑桥数学系有英国围棋冠军，我过去常看他下棋，徒劳地希望有一天我能理解它们。我从来没有。但我确实看到，最后，一场围棋游戏分解成一系列小游戏，我认为研究这种总和是个好主意。你也可以用其他游戏做同样的事情——跳棋、多米诺骨牌。然后我发现某些游戏的表现非常像数字。”
我在这些游戏中真正的重大发现是，这是一种定义数字的新方法——不仅是定义新数字，而且是定义所有旧数字。而且它比传统方法简单得多。
康威对自己发明的数字可能具有实际应用的前景感到高兴，特别是如果他不必自己去想出这些应用——这可能会干扰他所营造的疯癫、不切实际的天才形象。这半是姿态，半是哲学。他的办公室里摆满了各种几何拼图和玩具。他有一个关于水仙花的理论，另一个关于网球的理论。他收集词源——“数字”这个词本身与大量其他词相关，如“经济”、“灵活”、“复仇女神”、“麻木”。告诉他你的出生日期，他能在不到两秒钟内告诉你月相和星期几。每年我都会尝试将我的速度翻倍。
他为什么要这么做？炫耀，是吗？但不完全是，因为我做的很多事情并没有太多机会炫耀。比如，我最近的爱好是分解四位数，即使世界上最善意的人也不愿意坐在那里几个小时，让你不断地给出新的四位数，然后听你说：“这是69乘以38，”等等。我其实是在向自己炫耀。这给我一种美好的感觉，类似于力量。这也是一种世界一切安好的感觉。我有一个疯狂的想法是学习天空中所有星星的名字。我不是指星座，我是指单个的星星。所以我花了一些时间去做这件事。大概花了一年时间。我记得有一次很棒，天上有一小片云，我想，我应该知道那片云后面是什么。三颗星星组成一个三角形。嗯，云散开了，它们就在那里。知道情况会怎样，就像已经安排好了一样。
克鲁斯卡尔也同意，当然，从事数学工作也有其兴奋和强烈情感的时刻，而理解就是其中至关重要的一点。当你灵光一现时——这是其中最棒的事情之一，是情感层面为数不多的具体回报之一。
超现实数给他带来了这些回报。“在最初的20年里，这是一个了不起的数字系统，比通常的数字要好。我情不自禁。我可以说，这不是吹嘘，因为这不是我发现的——是康威发现的。这确实是对我们数字观的一个重大改进，数学界认识到它只是时间问题。”
