13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5
哦，残暴的恶魔！
哦，跛脚的圣徒！
兰登再次阅读信息，然后抬头看向法什。
“这到底是什么意思？”
哈佛大学教授罗伯特·兰登是丹·布朗畅销小说《达芬奇密码》中的主人公。起初，他被一则信息搞得一头雾水。这则信息是一位对密码充满热情、垂死的男人用隐形墨水潦草地写在巴黎卢浮宫地板上的。
兰登的专长是宗教符号学，他很快就发现这些词是“列奥纳多·达·芬奇”和“蒙娜丽莎”的两个变位词。但是那些数字呢？它们可能会困扰兰登一段时间，但任何数学家都会立刻认出它们。它们是斐波那契数列的前八个成员，顺序被打乱了。一位名叫索菲·内弗的年轻法国密码破解者也做出了同样的观察，并解释说斐波那契数列是历史上最著名的数学数列之一。
破解了两个秘密密码（后来发现是一系列密码中的最初两个）之后，兰登和内弗踏上了一场快节奏的冒险，最终他们的生命受到威胁，因为他们揭露了罗马天主教会内部的一个险恶阴谋。这是一个将艺术史和2000年教会政治交织在一起的精彩情节。
那么那个数学线索呢？在第20章中，兰登回忆起他在哈佛大学做的一次关于斐波那契数列和与他最喜欢的数字——黄金比例（又称神圣比例）密切相关的常数的讲座。在讲座中，兰登对神圣比例在生命和自然中的普遍性做出了一系列惊人的断言，我怀疑许多读者默认其中大部分是虚构的。事实并非如此。就像小说中许多宗教、历史和艺术的参考文献一样，兰登关于黄金比例的一些说法是错误的——或者至少夸大了事实。但有些是正确的。
神圣比例——有时用希腊字母φ表示，通常在英语中写作phi，读作“fie”——是自然界自身的奥秘之一，这个奥秘直到十年前才被完全揭开。揭开φ密码（我将如此称呼它）的探索提供了一个故事，其中包含的惊人转折、谜题和错误线索几乎与《达芬奇密码》一样多。
φ的故事，像许多数学故事一样，始于古希腊。希腊人热爱对称和几何秩序，他们寻找他们认为最令人愉悦的矩形。他们相信最纯粹、最美观的思想形式是数学，因此他们用数学来得出答案（参见第69页的“希腊人如何发现φ”）。
当兰登开始他在哈佛大学关于神圣比例的讲座时，他首先在黑板上写下数字1.618。严格来说，这并非完全是黄金比例。真实值由以下公式给出
φ = 1 + √5
2
与畅销小说作家不同，当大自然书写一个谜团时，她常常让我们无法找到完整的答案。就像古希伯来人永远无法得知上帝的真名一样，我们也永远无法得知φ的真实数值。如果你试图用公式计算它的值，你会发现小数会不断出现。这个过程永不停止。用数学家的语言来说，数字φ是“无理数”。
作为无理数，φ就像另一个数学常数π，它的无限小数展开始于3.14159…在两个数字中，数学家会说π比φ更重要。但我非常同情兰登班上的那位数学专业学生，他举手说：“Phi比pi酷多了。”π很热，但φ很酷。
故事还在继续。找到他们的黄金比例后，希腊人将其融入他们的建筑中，确保他们在城市中无论走到哪里，都会看到宏伟的矩形。这可能是真的，但现代历史学家质疑这一说法。当然，反复提及的帕特农神庙是基于黄金比例的说法并未得到实际测量的支持。
事实上，关于希腊人和黄金比例的整个故事似乎都没有根据。我们唯一确切知道的是，欧几里得在他约公元前300年撰写的著名教科书《几何原本》中展示了如何计算其值。但他似乎对数学比对建筑更感兴趣，因为他给黄金比例贴了一个毫不浪漫的标签：极端与中比。术语“神圣比例”首次出现于15世纪数学家卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）出版的同名三卷著作中。称φ为“黄金”则更为晚近：1835年，它出现在数学家马丁·欧姆（Martin Ohm）撰写的一本书中。
像大多数成功的惊悚片一样，《达芬奇密码》在不同的故事情节之间切换，我们的φ密码也是如此。下一集，我们将从古希腊快进到1202年的意大利比萨。年轻的意大利数学家莱昂纳多·皮萨诺（比萨的莱昂纳多）刚刚完成了一本名为《算盘书》（Liber Abaci）的著作。尽管莱昂纳多不可能知道，但他的书将通过将我们今天使用的数字书写和算术方法带到西方，从而改变人类文明的进程。这个系统在500年前在印度完成，比当时使用的罗马数字效率高得多。新的数字系统最终为16世纪和17世纪欧洲现代科学和工程的兴起奠定了基础。
《算盘书》中的一个有趣问题是关于兔子：一个人将一对幼兔放入一个封闭的花园。假设花园中的每对兔子每月都会生一对新兔子，并且从第二个月开始，这些新兔子本身也会繁殖，那么一年后花园中会有多少对兔子？
不难看出，花园中每个月的兔子对数由序列 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... 中的数字给出，这正是兰登在卢浮宫地板上看到的乱序斐波那契数列。斐波那契是数学史学家后来给莱昂纳多·皮萨诺起的名字。它源自拉丁语 filius Bonacci，意为“博纳奇之子”——莱昂纳多是博纳奇家族的一员。（现在我们的故事中有两位莱昂纳多：列奥纳多·达·芬奇和比萨的莱昂纳多。）
斐波那契数列的通用规则是，除了第二个1之外，每个数字都等于前两个数字之和。因此，1+1=2，1+2=3，2+3=5，依此类推。这与《算盘书》中每个月新出生的兔子都包含一对由新成年兔所生，再加上一对由更早的成年兔所生的事实相符。一旦你弄清楚如何生成这个序列，你就可以通过简单地读出第12个数字来解决兔子问题：144对。
当人们解决了莱昂纳多的书中的问题后，他们开始注意到这个看似无关紧要的数字序列在自然界中出现的频率如此之高，以至于连《达芬奇密码》中笨手笨脚的法国警察局长贝祖·法什都不得不怀疑。以下是一些证据，表明斐波那契数列隐藏着自然的秘密：
**证据A**：如果你数大多数花朵的花瓣数量，你会发现总数是一个斐波那契数。例如，鸢尾花有3片花瓣，毛茛有5片，飞燕草有8片，千里光有13片，紫菀有21片，雏菊有13、21或34片，而紫菀则有55或89片花瓣。
**证据B**：如果你看一朵向日葵，你会看到一个美丽的图案，由两个螺旋组成，一个顺时针方向旋转，另一个逆时针方向旋转。数一数这些螺旋，你会发现大多数向日葵有21或34个顺时针螺旋，以及34或55个逆时针螺旋——所有这些都是斐波那契数。其他花朵也表现出同样的现象；紫锥菊就是一个很好的例子。同样，松果通常有5个顺时针螺旋和8个逆时针螺旋，而菠萝通常有8个顺时针螺旋和13个逆时针螺旋。
**证据C**：仔细观察树木和植物茎上的叶子排列方式。叶子沿着螺旋路径缠绕在茎上。从一片叶子开始，数一数需要螺旋多少圈才能找到第二片正好在第一片正上方的叶子。设这个数字为p。同时，数一数你遇到的叶子数量（不包括第一片叶子本身）。这会得到另一个数字q。商p/q称为植物的发散度。令人惊讶的是，如果你计算不同植物物种的发散度，你会发现分子和分母通常都是斐波那契数。特别是，1/2、1/3、2/5、3/8、5/13和8/21都是常见的发散比率。例如，常见的草本植物发散度为1/2，莎草科植物为1/3，许多果树（包括苹果）的发散度为2/5，车前草为3/8，韭菜为5/13。显然，这里面有一些奥秘。
现在，正如任何一部好的悬疑小说一样，是时候将两条线索汇合，展示古希腊的黄金比例和13世纪的斐波那契数列是如何联系在一起的。取斐波那契数列，将每个数字除以后面的一个。你会得到以下结果：
1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1.5; 5/3 = 1.666 ... ; 8/5 = 1.6; 13/8 = 1.625; 21/13 = 1.615 ... ; 34/21 = 1.619 ... ; 55/34 = 1.6176 ... ; 89/55 = 1.6181 ...
等一下。1，1.6，1.61，1.618。这开始看起来像黄金比例了。这绝非偶然。数学家们已经 conclusively 证明，就像好莱坞浪漫剧中的两个害羞的恋人一样，斐波那契比率会慢慢接近φ，最终在无限远处相吻。现在，我们的两个故事已经融合，是时候揭开这个谜团了。斐波那契数列和黄金比例到底有什么特别之处？
黄金比例小测验
关于黄金比例存在太多虚假说法，也有太多令人惊讶的真相，以至于很难区分事实与虚构。除了文章中提到的，这里有一些你在文献中会发现的最常见的说法。看看你能正确猜出多少是真的或假的。（“真”表示确凿无误，“假”表示没有足够的证据来证明该说法。）
1. 埃及金字塔是利用黄金比例建造的。
2. 某些埃及陵墓是利用黄金比例建造的。
3. 一些石碑表明巴比伦人知道黄金比例。
4. 立体主义者的大部分作品都基于黄金比例。
5. 著名法国建筑师勒·柯布西耶提倡并在建筑中使用黄金比例。
6. 纽约联合国总部的秘书处大楼由三个黄金矩形堆叠而成。
7. 某些格列高利圣咏基于黄金比例。
8. 莫扎特在他的某些音乐中使用了黄金比例。
9. 贝拉·巴托克在他的某些音乐中使用了黄金比例。
10. 当猎鹰攻击猎物时，它俯冲的路径在数学上与黄金比例相关。
11. 诗人维吉尔的史诗《埃涅阿斯纪》的韵律是基于黄金比例的。
12. 12世纪的一些梵语诗歌的韵律基于斐波那契数列（因此与黄金比例相关）。
13. 黄金比例出现在某些晶体结构中。
14. 存在一个恰好有666位数字的斐波那契数。
15. 如果你对任何一个斐波那契数进行平方，其结果与相邻两个斐波那契数的乘积之间的差值最多为1。
答案
1. 假 2. 假 3. 假 4. 假 5. 真 6. 假 7. 假 8. 假
9. 假 10. 真 11. 假 12. 真 13. 真 14. 真 15. 真
首先，你需要将真正重要的事实与偶然或虚假的事实区分开来。无论古希腊人是否认为黄金比例是矩形最完美的比例，许多现代人并不这么认为。无数测试未能表明大多数观察者偏爱任何一个矩形，而且偏好很容易受到其他因素的影响。
黄金比例的另一个虚假出现是《达芬奇密码》中出现的一个。在哈佛大学的讲座中，兰登说：“测量你头顶到地板的距离。然后用这个距离除以你肚脐到地板的距离。猜猜你会得到什么数字。”他的答案是φ。为什么这是虚假的？首先，你不会得到精确的数字φ。你永远不能；记住，f是无理数。但在测量人体的情况下，存在很大的差异。没错，答案总是相当接近1.6。但1.6并没有什么特别之处。为什么不说答案是1.603？或者1.698？更重要的是，没有理由用肚脐来分割人体。如果你花半小时左右测量身体各个部位并整理结果，你会发现任何数量的数字对，它们的比例都接近1.6——或1.2。或1.8。
有些艺术家曾涉足φ，但与希腊人及其建筑一样，你必须小心区分事实与虚构。经常被重复的说法（在《达芬奇密码》中再次出现）称达芬奇认为黄金比例是完美人脸的高度与宽度之比，并且他在他的画作《维特鲁威人》（在布朗小说的早期部分占有重要地位）中使用了φ，这些说法似乎都没有根据。同样，桑德罗·波提切利在他的名画《维纳斯的诞生》中用φ来刻画维纳斯，以及乔治·修拉的画作《马戏团》基于φ的说法也同样常见。明确使用φ的画家包括20世纪的艺术家路易斯-保罗-亨利·塞吕西耶、胡安·格里斯、吉诺·塞韦里尼和萨尔瓦多·达利；但他们四位似乎都是为了φ本身而进行实验，而不是出于某种内在的审美原因。
然而，关于花卉和植物的数据——证据A、B和C——则是另一回事。斐波那契数列在自然界中如此频繁地出现，不可能是巧合。尽管这些观察中的许多是在一百多年前做出的，但直到1990年代，数学家和科学家才最终弄清其原因。这是一个关于自然效率的问题。
为了达到最大效率，花头和植物叶片以受黄金比例支配的螺旋方式生长。由于φ是一个无理数，而任何植物或花朵的花瓣、螺旋或雄蕊的数量都必须是整数，所以大自然会“四舍五入”到最接近的整数。由于亲近性，这将是一个斐波那契数。
这仍然留下两个基本问题。为什么是螺旋形？为什么是遵循黄金比例的螺旋形？
就叶子而言，每片新叶的添加都旨在最大限度地减少对下方已存在叶子的遮挡，并最大限度地减少上方未来叶子的遮挡。因此，叶子围绕茎呈螺旋状生长。对于植物花头中的种子，大自然希望尽可能多地包裹。实现这一目标的方法是以螺旋方式添加新种子。
早在18世纪，数学家们就怀疑，一个单一的旋转角度能以最有效的方式实现这一切：黄金比例（以每片叶子的旋转圈数等来衡量）。然而，将拼图的所有碎片拼凑起来花了很长时间。最后一步在十多年前，即1993年，由两位法国科学家斯特凡纳·杜阿迪（Stéphane Douady）和伊夫·库德尔（Yves Couder）进行的一些实验工作完成。
因此，今天我们对φ为何在植物生长中扮演如此关键角色有了很好的科学解释：它是生长方程最优解的比率。数学解释是，在所有无理数中，φ在一种非常精确的技术意义上，是最难表示为分数的数。
故事就这样结束了。抑或没有？除了给情节一个满意的结局，一部好的小说还应该让你对生活的某个方面产生思考。《达芬奇密码》留下的挥之不去的问题是，传统教会教义中有多少是事实，以及人们为什么如此愿意接受那些可能不真实的事情。我们的φ密码以两个类似的问题结束。关于黄金比例的文献中充斥着几乎没有事实依据，甚至在某些情况下被证明是错误的说法。为什么这些神话会流传下去？我们又为什么如此渴望相信我们被告知的一切？
希腊人如何发现Φ
欧几里得在他的著作《几何原本》中展示了如何将点A和点B之间的一条直线，通过点P将其分成两段，使得较长线段（AP）与较短线段（PB）之比，恰好等于整条线段（AB）与较长线段（AP）之比。
A P B
x 1
用符号表示
AB = AP
AP PB
直线上AB的实际长度是一英尺，一米，还是一条鞋带的长度，这并不重要。重要的是比率。所以为了简化讨论，我们假设PB的长度是1。
当PB = 1时，AP的长度 (x) 就是我们现在所说的黄金比例。要计算它的值，我们必须做一点代数运算。AB的长度将是 x + 1。这意味着我们可以将上述几何恒等式改写为方程
x + 1 = x
x 1
这可以通过交叉相乘重新排列得到 1 (x + 1) = (x) x，即 x + 1 = x²。然后我们可以将此重新排列得到二次方程 x² – x – 1 = 0。
如果你回想高中代数课，二次方程有两个解，并且有一个公式可以给出这些解。当你将这个公式应用于上述方程时，你会得到两个答案
x = 1 + √5 和 x = 1 - √5
2 2
使用计算器精确到小数点后三位，答案分别为 1.618 和 –0.618。黄金比例 φ 是这两个解中的第一个——正数。
当你问二次方程的负解 –0.618 去了哪里时，你会开始怀疑 φ 不仅仅是表面上看到的那么简单，因为这个负解的小数部分也无限延伸。除了负号，它看起来与第一个解 (φ) 相同，只是缺少了开头的 1。但这原来是一个错误的线索。再多算几位小数，你就会发现这两个数字并不相同。但如果你再深入挖掘一下，你会发现一个令人惊讶的恒等式。负解等于 1 - 1/φ。嗯。二次方程通常不会发生这种情况。— K. D.
