一门鲜为人知的数学领域或能帮助解开人类感知之谜

本文最初刊登于《Discover》杂志七月/八月刊，题为“你那双曲的头脑”。通过订阅，支持我们的科学新闻报道。

人类大脑是进化过程中既奇妙又神秘的产物：它被压缩在一个只有充气足球大小四分之一的体积里，大约有860亿个神经元形成了网络，使我们能够完成从漫无目的地刷Instagram到安全地向太空发射人类的一切活动。但对这些网络结构更深入的理解仍然是一个悬而未决的问题。

感知尤其令人费解：人类大脑如何将海量涌入的信号——光子、气味分子、声波、皮肤上的感觉——转化为一个精确的心理模拟？什么样的神经网络能够代表，比如说，巧克力的气味？

最近的研究表明，数学可能有助于我们解决这些问题。为了更好地近似感知和其他认知任务所涉及的复杂网络，一些研究人员转向了双曲几何。像其他几何学一样，它是一套关于空间、距离和连接的规则。但与大多数人在高中学习（或厌恶）的欧几里得几何不同，双曲几何描述了空间如何相互契合——如果空间在其自身之外弯曲，无处不在。

“双曲几何在生物学领域长期以来一直被低估，”位于加利福尼亚州拉霍亚的索尔克生物研究所的Tatyana Sharpee说。在过去的几年里，她对嗅觉系统的结构的研究将她引向了双曲几何。但嗅觉只是开始；她认为同样的方法可以推广到其他感觉和过程。

如果Sharpee这样的研究人员是正确的，那么要理解心智，我们就必须准备好接受双曲几何的信条——当它们首次出现时，这几乎是数学界的异端。

“无底之夜”的开端

我们通常认为世界遵循着2000多年前“几何学之父”——希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》中提出的规则。这些规则近似于我们生活中遇到的平坦、实用、物理的世界，并且在日常生活中非常有用。欧几里得几何学使我们能够跨越海洋、建造摩天大楼、驾驶法拉利。

但欧几里得的第五公设带来了问题。在其原始形式中，它指出，如果一条直线穿过另外两条直线，并且在同侧形成的内角之和小于180度，那么那两条直线在某个点一定会相交。（我们大多数人知道第五公设的简化说法：“平行线永不相交”）。正因为第五公设，我们才有了勾股定理，以及三角形内角和为180度的证明。

公设本应是不言自明的，但关于平行线相交的说法触动了数学家们的敏感神经。它似乎不那么直观令人信服——欧几里得在《几何原本》的大部分命题中甚至都没有运用第五公设。这些困扰学者的学者们花了数千年时间研究它，最终在19世纪初，他们开始问：如果第五公设不必成立呢？

这个问题改变了一切。他们意识到，违背欧几里得第五公设不仅仅是一个令人恼火的问题。它是通往奇异新几何学的大门，而这些几何学仍然是一致的。

打破欧几里得第五公设的想法吸引了当时的许多杰出思想家，包括卡尔·弗里德里希·高斯和尼古拉·洛巴切夫斯基。其中一位最杰出的人物是约翰·博约艾，一位年轻的、雄心勃勃的匈牙利数学家，他是最早制定这门新几何学规则的人之一。在1820年，他采取了一个激进的计划来挑战欧几里得。约翰意识到，放宽欧几里得的第五公设为更奇异、非欧几里得几何学打开了新的窗口。

他的父亲法尔卡斯很不高兴，使用了我们不常从数学家或父亲那里听到的语言。

“看在上帝的份上，请放弃吧，”法尔卡斯写信给约翰。

“像污秽的性交一样憎恶它，”他的信继续写道。“它会剥夺你所有的休闲、健康、休息以及你生命中的所有幸福。”法尔卡斯本人是一位数学家，也是高斯一生的朋友，他指出自己也曾挑战过欧几里得。“我测量过那个无底之夜，我生命中的所有光明和快乐都随之消逝了。”

家长式的鼓励就到此为止。约翰没有被吓倒，继续致力于制定我们现在称之为非欧几里得几何学的规则。在欧几里得几何学中，三角形的内角和为180度，平行线永不相交。在非欧几里得几何学中则不然。球面几何提供了一个例子——如果你在球体上画一个三角形（比如连接北极、檀香山和迈阿密），那么它的内角和将大于180度。

双曲几何是另一种著名的非欧几里得几何学。一个漂浮在三维空间中的双曲平面看起来并不平坦；它更像一块普利司通薯片或一个马鞍。它在各个方向上都是弯曲的。如果你站在双曲平面上朝一个方向迈出一步，你会升高；如果你转90度迈出一步，你会下降。在双曲空间中，三角形的内角和小于180度。

弯曲的走廊与非欧几里得视觉

一百多年前的一批近乎被遗忘的研究表明，双曲几何可以帮助解释视觉感知。1902年，德国科学家F. Hillebrand进行了一项暗室实验——大约10年后，W. Blumenfeld重复了这项实验——要求志愿者在头部固定不动的情况下直视前方。然后，让他们将一系列发光点排列成平行线，从头部向外延伸，使每条线与他们的视线保持相同的距离。实验结束时，他们应该看起来像是正对着一条走廊的中间。

但这些实验揭示了一个悖论：志愿者认为平行且直的线条实际上既不平行也不直。相反，这些线条始终遵循着曲线。在20世纪40年代，在达特茅斯眼科研究所工作的德裔数学家鲁道夫·伦堡的工作解释了为什么平行线在感知和现实中会有差异。他认识到，通过双眼视觉，我们感知到我们周围环境的三维地图，包括我们周围事物的形状和位置。他着手推导一个度量，一种在物理现实和我们所见之间进行转换的方法。

伦堡及其合作者得出结论，感知的规则不仅是非欧几里得的，而且更能被双曲几何所代表。几十年后，在1983年，科学哲学家帕特里克·希兰也同样主张存在双曲视觉空间；希兰还指出，像保罗·塞尚、文森特·梵高和约瑟夫·马洛德·威廉·特纳这样的画家在其作品中描绘了双曲结构。

气味的几何学

如今，这个问题尚未解决。研究人员继续探索感知网络的结构，一些最近的实验提供了视觉空间确实是非欧几里得的证据。在2018年的一项研究中，研究人员报告说，人们认为使用非欧几里得几何创建的图像比使用我们在高中中精确分析的那种欧几里得透视创建的图像更真实。

Sharpee说，夜空为双曲感知提供了令人信服的证据。我们看到黑暗的宇宙像一个穹顶，但天文距离被扭曲了。她指出，孩子们够着月亮，因为它看起来近得可以触摸，但“距离被压缩了”。

这也许是解开感知双曲之谜的关键：它的性质只在大尺度、包罗万象的尺度上显现。“任何小的弯曲几何都是欧几里得的，”她说。纽瓦克、新泽西；纽约市；以及纽约州尼亚克市形成的三角形遵循欧几里得规则。“它与‘地平说’的假设是一致的，”她说。“但如果我们谈论的是从纽约到伦敦再到墨尔本的距离，那就不是了。”

这是她嗅觉图谱中的一个核心思想，它在复杂性方面很大。人们很容易认为分子结构相似的气味分子会被感知得相似。（这类似于认为我们感知平行线为平行。）但这并不是Sharpee的发现。她分析了常见气味的化学结构以及志愿者被要求将相似气味分组的实验结果。

她的发现表明，人脑根据气味共同出现的频率来对气味进行分组，而不是根据它们的分子构成。当她创建了这些气味簇的图谱时，Sharpee发现，用双曲几何的距离概念比用欧几里得几何更能代表相似结构分子的距离。她的工作表明，如果我们把大脑组织感知信息的方式看作是一种弯曲空间，我们可能会学到更多。

双曲几何，这门“流氓”数学，除了在感知领域之外，在模拟大脑的复杂结构方面也变得有用。在一篇即将发表的论文中，巴塞罗那的物理学家模拟了跨越一系列物种的大脑网络。他们发现，神经元不一定与空间上离它们最近的神经元进行交流——如果你在寻找欧几里得的话，你可能会期望如此——而是形成遵循一种不同、更奇异几何规则的中继网络。他们报告说，双曲空间为各种物种大脑中的连接网络提供了“几乎完美的导航地图”。他们说，双曲几何为“大脑提供了一种新的制图学”。同样，一些计算机科学家指出，双曲几何为机器学习所需的大型数据集的组织提供了引人入胜的方式。

“双曲几何是一种非常自然的方式来表示大脑的结构复杂性，”魁北克省拉瓦尔大学的物理学家Antoine Allard说，他在巴塞罗那大学做博士后研究期间参与了跨物种研究。

对于一门源于无底之夜的叛逆数学领域来说，这已是不错的成就。

Stephen Ornes是一位居住在田纳西州纳什维尔的科学和数学作家。他的书《数学艺术：真理、美和方程》中收录了那些以非欧几里得几何为创作灵感的艺术家。