一百零一年前，也就是1913年，著名的英国数学家 G. H. 哈代收到了一个意外的来信。信上的印度（英属殖民地）邮票和奇特的笔迹引起了他的注意，当他打开信件时，他惊呆了。信件里挤满了方程——其中许多是他从未见过的。里面有各种各样的公式，最先引起他注意的是与代数数相关的公式。哈代是当时世界上领先的数论学家——他怎么会认不出这些写在粗糙纸上的关于这些数的恒等式呢？这些是新的推导，还是仅仅是无意义的数学涂鸦？后来，哈代这样评价这些公式：“它们彻底击败了我。我以前从未见过任何与之相似的东西！”
现在，数学家们首次辨认出了这些突破性涂鸦背后的数学原理——进一步揭示了创造它们的这位天才。
数学背后的头脑
这封信是斯里尼瓦瑟·拉马努金写的。他来自南印度城市马德拉斯，贫困潦倒，工作不稳定，虽然数学训练很少，却拥有超乎寻常的能力，似乎能凭空推导出数学恒等式。他寄给哈代的方程没有证明或理论解释。拉马努金后来表示，这些公式是在梦中出现的，由他家信奉的女神纳马吉里·安曼（在印度通常被称为拉克希米，毗湿奴的妻子）呈现给他的数学真理。
哈代将这封不同寻常的信以及后续寄来的信件展示给其他数学家，一些人告诉他，他们认为写信人是个骗子，声称伪造的数学成果。但其中一位，剑桥大学的珀西·麦克马洪，在拉马努金的研究与他正在研究的数的分拆之间看到了深刻的联系，这一洞察力帮助说服哈代相信拉马努金的作品既真实又新颖。进一步研究这些信件后，哈代认为其中包含的数学恒等式——涉及无穷级数和无穷积，称为q-级数——是真实的，并且它们对于数学非常重要，可以用来推导代数数。后来人们清楚地认识到，拉马努金公式的关键是两个特殊的q-级数：即所谓的“罗杰斯-拉马努金恒等式”，这是英国数学家伦纳德·詹姆斯·罗杰斯在19世纪末首次研究的。哈代对拉马努金的恒等式总结道：“它们一定是出自一位最顶尖的数学家之手。它们一定是正确的，因为没有人会想象出这样的东西。”
戛然而止
哈代对这些公式的来源印象深刻并着迷，于是邀请拉马努金到剑桥与他一同研究。这位年轻的印度人接受了这一提议，在得到母亲和家女神的允许后，登上了从马德拉斯开往伦敦的船。在剑桥，哈代和拉马努金一起度过了短暂而紧张的几年，拉马努金产生了数百个新的数学成果，哈代与他一起试图解释和证明这些成果。哈代晚年曾说，将拉马努金带到英国是他作为数学家最伟大的成就。
但拉马努金抵达剑桥时身体已经抱恙，并频繁因各种症状住院，最初被认为是肺结核，但现在已确诊为寄生虫肝脏感染。他的健康状况持续恶化，最终他决定返回印度与家人团聚。他于1920年在那去世，年仅32岁。
从那时起，数学家们就被拉马努金的成果所吸引，并有许多尝试去寻找他产生代数数的方程的来源。普林斯顿高等研究院的弗里曼·戴森据报道，在令人沮丧的战争年代，他通过研究拉马努金的恒等式来消磨时光。但这些公式的来源仍然是个谜，又过了70年。
寻找数学的宝藏
四月，在拉马努金抵达剑桥100周年之际，他方程的来源终于被找到了。埃默里大学的肯· Ono、他的研究生迈克尔·格里芬以及他们的同事、昆士兰大学的奥尔·瓦尔纳尔提出了他们刚刚证明的定理，这些定理极大地推广了拉马努金的工作，并确定了他数学公式的来源。
Ono 和他的同事们发现，这两个罗杰斯-拉马努金恒等式只是一个几乎无限的通用恒等式库中的具体例子，这个库使用了类似的无穷级数和无穷积。用 Ono 的话说，他们找到了让拉马努金获得“金块”的“宝藏”。
这项新工作非常复杂，包括了拉马努金时代不存在的数学。Ono 和他的合作者使用了现代的表示论（抽象代数的一部分）以及模形式（数学分析的一个领域）——这两种方法都帮助安德鲁·怀尔斯证明了费马大定理——并且还使用了霍尔-李特伍德多项式。
这个新的、庞大的罗杰斯-拉马努金-Ono-格里芬-瓦尔纳尔恒等式海洋具有一个可喜的特性，即它能相当容易地产生代数数（通常很难获得）。其中之一是 Φ（phi）——在艺术和自然中无处不在的“黄金分割率”。这个数字1.618…是斐波那契数列连续项的极限，甚至在丹·布朗的小说《达·芬奇密码》中也出现过。
Phi 是占据拉马努金注意力的关键数字之一，而这项新工作为发现许多类似的数字铺平了道路。拉马努金这位未经训练的人声称从他的女神那里获得的东西，被视为现代数学现在拥有的一个重要基本真理的例子——一种生成类似数字的方法。
谜团依然存在
拉马努金和他的作品引起了广泛关注。伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的布鲁斯·伯恩特教授花了40年时间研究拉马努金的信件和笔记本——包括1976年发现的一本“失落的笔记本”——试图为拉马努金陈述为事实的数学结果提供证明。
“我们有了一个起点，”他告诉我，“所以我们的工作相对容易一些——我们把拉马努金的恒等式当作真理，然后证明它们。”然后他补充道：“但证明非常困难。”拉马努金是如何知道这些东西是真实的，他是如何想出如此出人意料的数学事实的？“我们不知道拉马努金的洞察力，”他说。“我们的证明可能比他脑中的证明要困难得多。”
因此，拉马努金是如何获得他对数字和方程的先知般洞察力的谜团至今仍然存在。这个难题体现在或许关于这位印度数论学家最著名的故事中。1917年，拉马努金躺在英国普特尼一家医院的病床上，哈代来看望他。哈代只是随便聊天，说：“我的出租车号有点无聊，是1729。”
“不，哈代！不，哈代！”拉马努金从床上坐起来，喊道：“这是一个非常有趣的数字！它是能以两种不同方式表示为两个立方体之和的最小数字。”（因为 1729 = 10³ + 9³ = 12³ + 1³。）拉马努金就是自然而然地知道这些事情，把证明和细节留给了别人。
什么是代数数？
像拉马努金研究的那些方程的解所得到的数字，都是一种特定类型的，Φ就是其中一个例子。这些就是代数数。关于这类数字的理论本身就很有趣。
我们知道很多种数字，在这里总结一下很有用。最简单、最早发现的数字（早期人类已经知道了）叫做自然数：1, 2, 3, … ，无穷大，这个集合用N表示。然后如果你在这些数字中加上零，你就形成了一个数学家称之为加法群的集合，这意味着你可以定义加法逆元，即负整数。这个扩展的数字集合称为整数，用Z表示（来自德语的数字Zahlen）。再加上一个运算，乘法，你就有乘法逆元（零除外），那就是所有的分数，也就是整数的商，这个扩展的集合现在是有理数的域，用Q表示。当你在集合中加入所有无理数（不能表示为整数之商的数）时，你就得到了所有实数的域R（这些是实数轴上的数字，我们称之为“实数”以区别于虚数；如果你再加入所有虚数和实数的组合，你就得到了复数的域C）。
德国数学家格奥尔格·康托尔在19世纪证明，虽然所有这些数字集合都是无限的，但它们的大小并不相同。他使用巧妙的方法，证明了有理数的数量与整数和正整数一样多。因此，N、Z和Q拥有相同的无限大小（或基数），而实数R则拥有更高阶的无穷大（尽管我们不知道它是什么——康托尔关于它的不可证明的猜想被称为连续统假设）。“更大的无穷大”是因为所有的无理数——它们的数量太多了！我们说N、Z和Q是可数的，而R是不可数的（C也是如此）。
代数数
但故事变得复杂了。可以作为系数为有理数的方程的解得到的数字称为代数数。所以代数数可以是无理数，例如√2。这个数字是代数的，因为它是一个方程 x² - 2 = 0 的解，该方程的系数（1和-2）都是有理数（实际上是整数）。代数数是拉马努金工作的主要关注点之一。黄金分割率 Φ=1.618… 是无理数但又是代数数，因为它是方程 x² - x - 1 = 0 的解。拉马努金使用无穷级数和无穷积以另一种方式得到了这个数字。你可以通过在计算器上执行（无限）运算来做到这一点：1 + 1 = 1/x + 1 = 1/x + 1 = 1/x…，你会看到显示屏上的数字收敛到1.618…，交替出现0.618…（即1/Φ）。这一系列的运算是拉马努金指定的（当然他没有使用计算器）。
关于代数数的一个迷人事实是它们是可数的，即它们拥有与N、Z和Q相同的无穷阶——即使它们属于（不可数的）更高集合R。因此，它们的无穷阶更为普通。硬核的无理数——那些不是代数数的——被称为超越数。这些包括 π（pi）和e。与代数数、整数或有理数相比，这样的数字“多得无穷多”！
化圆为方
一个有趣的事实是，正是因为π是超越数，所以才不可能化圆为方，尽管古人曾如此努力地尝试过。这个事实直到19世纪才为人所知，当时代数数才被充分理解。化圆为方，即用尺规作图构造一个面积与给定圆相同的正方形，相当于求解一个系数为有理数的方程并得到π作为解。这不可能，因为π是超越数，因此不是代数数。永远不会有这样一个方程能得到π作为解。
