欢迎来到拓扑学奇特的数学世界

想象一下你在萨尔瓦多·达利的画作中醒来。你伸手去按闹钟的贪睡按钮，却发现它在夜间化成了一摊水。窗外升起的太阳照亮了一头摇摇晃晃走在街上的大象，它的腿细得不可思议，像一百英尺高的竹马。

在这个奇幻的现实中，一切都在缓慢而持续地变形。你的咖啡杯变成了甜甜圈，仿佛是用泥巴捏拉而成。早餐是一段令人困惑的经历，因为日常物品失去了它们的身份。

这听起来可能像是一次糟糕的旅程。我们都知道现实世界中的事物往往具有固定的形状；字母L不同于字母M。但在拓扑学这个正在缓慢重塑我们对世界认知的数学领域中，通常的规则并不适用。它的实践者认为，L本质上与M、C或Z相同。对于拓扑学家来说，可以被轻轻弯曲、扭曲和拉伸成彼此的物体，从某种意义上说，是基本相同的。

几个世纪以来，这种橡皮泥式的事物观察方式几乎没有实际价值，但这种情况正在开始改变。拓扑学正在指导我们今天如何理解大数据。它帮助物理学家发现了与地球上任何其他物质都不同的导电新材料——以及隐藏在这些材料中的新物理。它甚至启发了微软开发一种听起来像科幻小说一样的机器：一台量子计算机，有望解决当今设备无法解决的问题。

“拓扑学很长一段时间都没有被认真应用于任何重要的严肃问题，”斯坦福大学数学家和拓扑学专家Gunnar Carlsson说，“但它在21世纪已经成为一支不可忽视的力量。”

七桥问题

拓扑学的故事始于近300年前，当时地球上最聪明的数学家之一听说了这个谜题。一个遥远的欧洲城市的居民想知道：你是否能漫步穿过他们的城镇柯尼斯堡，并且恰好只穿过它的七座桥梁一次？

那位数学家莱昂哈德·欧拉是一位思想巨匠，他创造了我们今天使用的许多数学符号，并提出了可以说是有史以来最美丽的方程。他起初对柯尼斯堡桥问题不以为然，在一封信中称其为“平庸”。幸运的是，这位瑞士天才还是决定关注它。欧拉的同代人找不到这样的路径——但他们也无法证明不存在这样的路径。

欧拉采取了一种不同寻常的方法。他忽略了地图的细节。忘记桥梁的长度和它们之间的距离。忽略城市中心岛屿的大小。用粘土建造一个城市模型，随意扭曲它——只注意拉伸和捏合，绝不折断——问题不会改变。

欧拉说，所有重要的只是桥梁的数量和它们连接的陆地数量。仅仅通过计算这些，他就表明问题是无法解决的。没有办法恰好只走过每一座桥一次，对于任何试图组织一次高效的城市桥梁主题徒步旅行的人来说，这都是个坏消息。这座城市现在被称为俄罗斯的加里宁格勒。

欧拉接着寻找其他观察现实的方法，这些方法忽略了可以用尺子测量到的细节。这里有一个例子：数一数一个封闭盒子上的角和面的数量，然后把它们加起来。任何盒子，任何大小。你算出来了吗？现在减去边的数量。你应该得到数字2。把那个盒子塑造成金字塔、四面体或任何其他日常多面体。重复相同的过程。结果将永远是2。

在整个宇宙中，看起来不同的形状仍然可以有一些共同之处——一些数学的和抽象的东西。

欧拉以他观察形状的新方式，播下了拓扑学的种子。（这个名字来源于希腊语中“地方”和“研究”的意思。）拓扑学家试图通过简单的数字特征来理解形状的共同点以及它们之间的不同之处。

“如果你的视力不那么好，拓扑学就会揭示你可能会开始注意到的结构，”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家Dan Freed说，“这些结构中，细微的细节并不重要。”

颠倒的拓扑

近期拓扑学最伟大的成就之一，可以说是证明了法国数学家亨利·庞加莱一个听起来很奇怪的猜想，他将一个已经很奇特的想法又推进了一步。

数学家们知道，奇怪的是，只要物体没有孔洞，任何日常物体都可以通过渐进变形转化为一个球体。庞加莱提出，对于超过三个维度的物体——例如宇宙的形状，也许——同样如此，同样假设没有孔洞。

孔洞在拓扑学中具有特殊的魔力。在拓扑学家的达利式早餐中，咖啡杯可以慢慢融化成一个甜甜圈；杯柄上的孔洞变成了糕点上的孔洞。但甜甜圈不能变成无孔的香肠，反之亦然。那需要关闭（或打开）一个孔洞。拓扑学允许形状轻轻扭曲变形，但不能突然撕裂或合并。

通过思考孔洞，拓扑学家们发现了一系列奇异的形状。其中最奇怪的一种，首次于1882年被描述，可能是克莱因瓶。它看起来像是从苏斯博士的书中走出来的东西，并且只真实存在于四维空间中。由于这种容器自身包裹的方式，它没有体积。它的内部就是它的外部。

“一只蚂蚁可以在整个表面行走，而无需跨越任何边缘，”Cliff Stoll写道，他可能是世界上最大的克莱因瓶爱好者。Stoll受过天文学训练，头发像《回到未来》中的艾米特·布朗博士，并且是一位玻璃吹制工，在他的加利福尼亚奥克兰家中出售这些曲线容器的3D模型。他建议顾客不要试图将液体倒入瓶中；它们并不实用，而且清洗起来非常麻烦。

如果这个瓶子听起来令人困惑，那么它确实是。拓扑学家所玩的形状通常与我们的日常生活几乎没有关联；它们违背常识。考虑一下莫比乌斯带，这是一个通过将丝带扭转一次并将其两端粘合在一起而形成的环。它是一个只有一个表面、一个边缘的物体。虽然将普通的丝带环沿长度方向剪成两半会产生两个更小的环，但如果你将莫比乌斯带剪成两半，你会得到一个更大、单一的环。

很长一段时间以来，这些奇异的形状——以及拓扑学揭示的其他形状——都仅仅是奇闻异事。但后来它们开始出现在令人惊讶的地方，比如黑白数字照片中。大约十年前，斯坦福大学的数学家Carlsson正在分析一位同事切割成9像素块的照片时，一个模式出现了。将这些像素块绘制成一个九维图上的点，其中一个维度表示每个像素的暗度值，就会出现一个看起来像克莱因瓶的形状。Carlsson利用这一知识发明了一种新的方法，可以将图像数字压缩到更小的尺寸。他创立的公司AYASDI已利用拓扑学寻找例如不同癌症中涉及的基因模式，以及表明欺诈活动的银行交易。

拓扑学的实用性远不止于此。希望更好地理解遗传学复杂性的生物学家越来越多地转向拓扑学以寻求清晰。同样，神经科学家被他们可以从大脑中收集到的海量数据所淹没，以及试图教会他们的创造物执行复杂动作的机器人学家，也转向了拓扑学。

拓扑学，曾经抽象而超凡脱俗，已经开始在现实的有形碎片中崭露头角。不信问查尔斯·凯恩。

电子计算尺

革命往往起源于不起眼的地方，宾夕法尼亚大学物理学家凯恩的情况也不例外。他热衷于电子，每天都在捣鼓计算机模拟，模拟这些带负电荷的粒子在不同材料中的流动。这几乎算不上迷人的工作。但在2004年，凯恩在摆弄他的一个模拟时，注意到了一些意想不到的事情，这可能有一天会为他赢得诺贝尔奖。

科学家们早已理解为什么电流会流过某些材料而不会流过其他材料。当电子移动时，它们会穿过一个“地形”。在量子物理学（描述现实最微小尺度的物理学分支）的小尺度上，电子在由构成材料的原子所塑造的纯能量山谷中滑动。

不导电的材料，称为绝缘体，具有深谷。电子很难逃脱这些陷阱，像台球桌口袋里的台球一样，被困在它们的原子上。

这些电子形成了一种量子态，反映了它们无法流动的特性。一种绝缘体（如塑料）的量子态可以数学地塑造成另一种绝缘体（如玻璃）的量子态。它们的不同之处仅在于表面，就像欧拉的盒子和金字塔一样。换句话说，从拓扑学的角度来看，绝缘体通常是相同的。但并非总是如此。

十多年前，凯恩在他的模拟中发现了一些奇怪的东西：一种绝缘体，其量子态具有一个等效的“孔”。这使其与其他绝缘体不同。它是甜甜圈的对应物，无法在不封闭孔洞的情况下揉成面包卷，而这是拓扑学所禁止的变形。凯恩发现了第一个拓扑绝缘体。

“人们花了很长时间才开始问，对于绝缘体中的电子，是否存在类似甜甜圈的东西，”凯恩说，“我们找到了一个，并发现拥有这个孔有一个后果：通常不可能的事情变得可能了。”

由于其量子态中的“孔”，这种理论材料可以在其表面导电（在那里表现得像金属），但不能在其内部导电（在那里它更像塑料）。以前没有已知材料表现出这种行为。

一旦物理学家们意识到他们真的可以在实验室中制造出这种模拟物质，一场竞赛便开始了。“挑战在于找到自然界中不存在的新材料，”普林斯顿大学物理学家M. Zahid Hasan说，他领导的团队在2007年成功制造出第一个真正的拓扑绝缘体。“为了做到这一点，人们正在尝试以拓扑学的角度重写我们对物理的思考方式。”

严格来说，一支来自加利福尼亚和德国的物理学家团队在哈桑之前，率先制造出了一种扁平的二维拓扑绝缘体。而几十年前，在80年代，物理学家大卫·索利斯（David Thouless）曾利用拓扑学解释了在磁场中非常薄的半导体所表现出的一些奇怪行为。（这被称为量子霍尔效应，为索利斯赢得了2016年的诺贝尔奖。）

但德克萨斯大学奥斯汀分校研究量子霍尔效应的物理学家艾伦·麦克唐纳（Allan MacDonald）表示，物理学家们认为量子霍尔效应是一种特殊情况，是一次性的。凯恩的甜甜圈发现极大地扩展了索利斯的工作。“他表明拓扑学不仅适用于非常特殊的情况，而且非常普遍，”麦克唐纳说。这使得哈桑和他的团队能够制造出第一个三维拓扑绝缘体。

这也带来了实实在在的好处。拓扑绝缘体还具有另一个不寻常的特性。在拓扑学（强调细节不重要）的引导下，流经这些材料的电子不介意撞到缺陷或瑕疵。它们不会像流经导线的电子那样，倾向于损失能量并发出热量。这意味着用这些材料制成的电子产品，理论上可以消耗更少的电力，效率更高。

而这仅仅是拓扑材料能够驱动的技术之一。

机器中的数学

如果Chetan Nayak能够实现他梦想中的电脑——一台受拓扑学启发的电脑——他可能会成为世界上最危险的黑客，轻而易举地窃取信用卡号码。或者，如果他将他的能力用于正途，他可以创造一个领先谷歌数光年的搜索引擎，帮助化学家设计新药，并帮助物理学家理解宇宙的基本构成。

这些是量子计算的一些长期承诺，它旨在将信息位存储为不是1和0，就像传统计算机一样，而是存储在可以同时部分为1和部分为0的奇异量子态中。

但你不必担心纳亚克；他是一名研究员，而不是黑客。尽管经过数十年的努力，量子计算机仍未发挥其潜力。谷歌已经创造了一块拥有72个量子比特的芯片；IBM最好的成果是50个；英特尔有一款49量子比特的设备。这些机器都无法比你笔记本电脑中价值200美元、装有数十亿晶体管的芯片做得更多。量子设备仍然微不足道，并且在将其放大方面仍然存在重大障碍。

问题在于，这些未来设备将信息存储在单个亚原子粒子脆弱的量子态中。而这些状态以其反复无常而闻名；最轻微的干扰或缺陷都可能轻易破坏它们的信息。这限制了量子设备的计算能力，它们必须将大部分资源用于纠正与外界接触造成的错误。

纳亚克认为拓扑学可以通过保护量子信息免受外界干扰来解决这个问题。“从理论上讲，拓扑学可以被利用，”他说。他的雇主微软也同意这一观点，并在加利福尼亚大学圣巴巴拉分校建立了一个名为Station Q的设施，致力于建造一种新型量子计算机。走进里面，你会发现黑板上写满了拓扑学方程，这些方程是由物理学家和数学家在距离太平洋几步之遥的地方写下的。

尽管在过去一年中加大了投入，但Station Q尚未制造出能够利用拓扑学特殊优势的芯片。“实验还没有完全实现，”纳亚克说。但他对这种方法充满信心。

微型宇宙

由于支配其行为的独特数学原理，拓扑材料有效地容纳了微型宇宙，这些宇宙遵循与外界不同的规则。自然界中不存在的粒子可以以奇怪的形式出现在这些材料中。

考虑一下外尔费米子。将近90年前，德国物理学家赫尔曼·外尔在玩弄量子物理方程时（正如人们所做的那样），证明了这种无质量带电粒子理论上可以存在。但它从未在构成宇宙的基本粒子中出现过，也从未在通过碰撞其他粒子来寻找新粒子的实验中被发现。

然而，一种行为类似于外尔费米子的物质确实在2015年出现了，它存在于一种由奇特元素构成的拓扑材料中，被称为外尔半金属。研究这种物质的研究人员（包括哈桑）在其中电子的量子态中发现了一种数学上的“孔洞”，类似于凯恩的拓扑绝缘体。这个“孔洞”导致电子成群聚集，表现得像一个单一的粒子，就像一群鸟在空中集体形成一个形状。作为一个群体，这些电子表现得像一个无质量的外尔费米子。

物理学家们希望，探索外尔费米子的行为可能会带来新的量子现象的发现——甚至可能发现新型物质。而且，由于它没有质量，这种所谓的准粒子可以比日常电流更快地穿过材料，这对于新型量子电子学和激光器来说可能是一个有用的技巧。

另一种准粒子可以帮助微软更接近其量子计算机，同时还有一种更新型的拓扑材料：拓扑超导体。普通超导体导电时没有任何电阻；强大的磁铁，如核磁共振设备中的磁铁，都依赖于超导体。拓扑超导体甚至更奇怪。这种材料应该容纳一种类似于马约拉纳费米子的粒子，这种粒子是意大利物理学家在1937年玩弄与外尔感兴趣的相同量子数学时预测的。像外尔费米子一样，马约拉纳费米子没有质量。尽管它由一堆带负电的电子组成，但它也没有电荷。而其他粒子都有一个反物质双胞胎——质量相同但电荷相反——马约拉纳费米子，从技术上讲，是它自己的反粒子。它们很奇怪。

作为拓扑超导体中的一种准粒子，马约拉纳费米子将拥有对量子计算有用的超能力。负责其存在的电子本质上可以一分为二，就像鸟群分散一样。由于控制这些材料的拓扑对称性，分裂的粒子受到保护；即使你篡改费米子的一半，它也不会影响它们之间共享的信息，这些信息是受保护的。因此，利用这种行为的量子计算机将不必处理困扰当今设备的错误。理论上是这样。

只有一个问题。没有人真正制造出拓扑超导体，至少不确定。2012年，荷兰研究人员在微小的导线中发现了可能是马约拉纳幽灵的迹象。证据仍在不断积累，但结果仍未确定。

“关于这是否能用其他现象来解释，一直存在很大的争论，”代尔夫特理工大学团队的博士后郝张说，该团队正在与微软合作。“我认为我们的工作已经说服了社区的大多数人。”

我们拭目以待。