以下对话摘自美国国家科学基金会和《发现》杂志赞助的一场圆桌讨论，该讨论于2002年6月11日在华盛顿特区哈特参议院办公大楼举行。
埃里克·黑塞尔廷：我们上学的时候，学习数学，尤其是在低年级，是一件相当机械、枯燥的事情。在过去的十年里，改革席卷了课堂，因为批评者认为学生需要学习如何解决问题，而不仅仅是练习旧的技能。事实上，现在计算器无处不在，许多学校系统正在考虑只简单地教孩子们他们早期教育中最难的数学——长除法。这听起来好像会很解放，但我想知道小组是否认为这会奏效。
1 约翰·霍顿·康威是普林斯顿大学约翰·冯·诺伊曼数学教授。他于1962年获得剑桥大学博士学位，并一直在那里担任讲师、阅卷人，最终在1985年前成为教授。他于1981年当选伦敦皇家学会会员。
2 基思·德夫林（中）是斯坦福大学语言与信息研究中心的执行主任。德夫林著有20多本书，其中包括《数学基因：数学思维如何演变以及数字为何像八卦》。他于1971年在布里斯托尔大学获得博士学位。
3 迈克尔·霍利（中）是麻省理工学院“Go Expeditions”项目的特别项目主管和创始人。在麻省理工学院媒体实验室，霍利曾担任亚历克斯·W·德雷福斯教授职位。他在耶鲁大学获得了音乐和计算机科学的学士学位，并在麻省理工学院获得了博士学位。
4 布伦达·迪特里希是IBM托马斯·J·沃森研究中心数学科学部门经理。她发表了大量论文，并合著了《互联网数学：电子拍卖和市场》。迪特里希在康奈尔大学获得博士学位后，于1984年加入IBM。
5 艾伦·乔多斯（左）是美国物理学会的副执行官，自2000年2月起担任此职。他于1970年获得康奈尔大学博士学位，在担任物理学会职务之前，在耶鲁大学担任高级研究物理学家近25年。
5 乔治·安德鲁斯（右）是宾夕法尼亚州立大学埃文·普格数学教授。他获得了俄勒冈州立大学学士和硕士学位，以及宾夕法尼亚大学博士学位。他是当前数学教育趋势的批评者。
6 埃里克·黑塞尔廷（右），本次圆桌讨论的主持人，是美国国家安全局的副研究主任。从2000年到2002年，他曾担任华特迪士尼公司的研发主管。他每月还在《发现》杂志上撰写“神经探索”专栏。
摄影：布拉德·海因斯
布伦达·迪特里希：我有一个上高中的儿子，一个八年级生，一个四年级生。我补充了他们的数学教育，因为当我非常非常聪明的长子回家说：“你知道，我真的很喜欢科学，我真的很喜欢历史，我喜欢文学，但是数学真的很无聊。我为什么要学它？”时，我感到非常沮丧。对于一个靠数学为生的人来说，这简直是毁灭性的打击。所以我主动去寻找学校之外的材料，以确保我的孩子们看到数学的乐趣。
7 希拉·托比亚斯是一位作家和顾问。她获得了哥伦比亚大学历史学硕士学位，并拥有八个荣誉博士学位。她广泛撰写关于女性和数学的文章，并著有《克服数学焦虑》、《成功学数学》和《打破科学壁垒》。
迈克尔·霍利：这有一个音乐上的类比。我最不喜欢的作曲家之一是伊戈尔·斯特拉文斯基，但他说了我永远不会忘记的关于音乐教学的话。他认为音乐学院与香肠工厂几乎没有什么区别。他说，这些地方的问题是孩子们在那里只是弹奏音阶和学习机械技巧。这些地方应该做的是教学生热爱音乐，充满热情地拥抱这个领域。这在我所见过的所有层面的数学教育中都缺失了。
乔治·安德鲁斯：我严厉批评美国国家数学教师理事会近期进行的多数改革努力。他们认为学生无需像计算器时代之前那样认真学习算术，就能培养数学高阶思维能力，这简直荒谬。作为一位有无数大学新生坐在我的办公室里，因代数和算术技能极差而感到绝望的教师，我相信这些改进数学教育的努力已经失败。在销售计算器的公司支持下，有一种强烈的趋势，就是要让这些工具成为学校的标配。我知道学习数学很难。而对于许多现在的教师来说，教授算术也是一项艰巨的任务。因此，将小学算术中的大部分内容——例如，长除法——抛弃的诱惑很强烈。这将是一个灾难性的错误。
基思·德夫林：我同意乔治所说的几乎所有内容——但我们还是要小心。教育有两个目的。一个是教人们如何做事。另一个更重要的，是让人们为生活做好准备。我们所做的一切——我们的商业、我们的娱乐产业等等——都从根本上依赖于数学。人们想对他们所过的生活一无所知吗？我认为不想。数学是人类创造力的伟大发明之一——一种极其丰富的文化财富。如果我上建筑课，而老师只教我砌砖的基本知识，我会非常失望。当我们教授数学时，我们不应该只专注于基本知识——但你也不能完全忽视它们。除非你知道很多东西，否则你无法发展做数学的能力。我所知道的唯一让大脑理解数字的方法就是枯燥、重复地练习数字，就像我所知道的成为一名优秀网球运动员的唯一方法就是上场不断练习一样。
约翰·康威：一个很大的困难是大多数老师从未真正学习过数学。我将完全废除数学教育系。他们不教数学——他们教如何教数学，我认为这可能是一种讽刺。除非你有一个热爱数学的老师，否则你无法学习数学。我去了很多学校和孩子们交谈。我希望他们欣赏数学的乐趣——我让他们跳舞，享受自己，看到数学的快乐。但我也认为能够合理地进行基本算术很重要。如果这消失了，那将非常糟糕，因为它是数学的入门。如果你只是被教导如何按计算器上的按钮，你的脑子里永远不会有任何想法。
黑塞尔廷：那么，孩子们真的需要像以前那样，一个学年一遍又一遍地做长除法吗？
希拉·托比亚斯：从我的角度来看，我不是数学的“使用者”——我是一名数学的仰慕者和欣赏者——我认为，我四五年级时学习了38周的长除法，自从计算器出现后，这就变得浪费时间了，就像学习用传统方法开平方根一样，也是浪费时间。
安德鲁斯：我可以替长除法——以及一般算术——说几句吗？两年前，我参加了另一个小组讨论，其中一个问题是关于我们是否需要能够进行长除法之类的运算。听众中有人建议，“5加3等于多少？”这个问题的答案10比8更好。他的理由是，知道如何估计很重要，而计算器可以负责得到准确答案。我的回答是：假设你想计算2017乘以300136。那是2乘以10的3次方再乘以3乘以10的5次方。如果你将10的3次方和10的5次方的指数相加，得到10的10次方而不是10的8次方，那你就差了100倍。换句话说，算术是一个基本元素，它不仅仅是为了得到答案。算术为你在代数中的学习奠定基础，然后为你学习微积分做好准备。例如，如果你要进行多项式除法，你会发现如果你有长除法的经验，这或多或少是相同的游戏。
黑塞尔廷：希拉，你这里有一些世界级的数学家说，你不能将数学的过程与数学的内容分开。
托比亚斯：当我说长除法不重要时，我的意思是学习长除法的技巧是浪费时间。它真正做的只是强迫学生练习乘法和减法，并学习一些关于位值的知识。没有人会用一个6.95美元的计算器像我们以前那样做除法。我花在学习长除法上的38周，本可以用来介绍简单的概率和频率分布，更不用说有趣的文字题了。
艾伦·乔多斯：我看到了希拉所说的话的价值。有数据显示，学习科学对人们学习数学非常有帮助。我认为原因之一是他们开始以不仅仅是“375除以42是多少”的方式使用数学。例如，假设你看到这七位专家，注意到其中三位留着胡子，然后问自己：“这三位留胡子的人碰巧坐在一起的概率是多少？”嗯，那有趣多了，不是吗？
黑塞尔廷：那个概率是多少？
乔多斯：我没带计算器。抱歉。[笑声]
黑塞尔廷：作为一名商人，概率和统计在我的职业生涯中发挥的作用远大于，比如说，三角学。我们现在应该教什么而没有教呢？
迪特里希：需要更多关注的领域之一是建模。学习算术很棒，学习代数很棒，但学习哪种数学可以用来表示不同的物理情境，不同的决策过程，这在高中课程中很少教授。
德夫林：我认为埃里克的问题存在危险，因为它促使你在数学的这部分和那部分之间做出选择。我们作为物种的特点在于我们过着大脑的生活。我们通过思考事物而生存。我们有责任让我们的孩子做好准备，尽可能多地以不同的方式思考事物。其中一种方式，可以说是与众不同的——因为它最困难——就是数学思维。你是否需要在日常生活中解二次方程？我怀疑。我从未有过。但我不怀疑学习如何解方程有助于我成为一个更好的思考者。
乔多斯：教太多数学也可能存在危险。在许多州，彩票的收益用于教育。如果你教人们概率知识，他们玩彩票的可能性就会大大降低。因此，矛盾的是，你数学教得越好，你可能获得的教学资金就越少。
霍利：你知道，我们是第一代生物工程师全新物种的人类，那是一个潘多拉魔盒。我们也是第一代人类注意到我们显著改变了世界生态系统，而这同样以我们不理解的方式发生着。下一代需要应对这些问题的学科将包括与这些问题纠缠所需的数学和计算机符号学。这与仅仅为长除法发愁有点不同。
黑塞尔廷：既然我们知道我们需要一流的数学教师，我们如何才能获得他们呢？
德夫林：我们必须给他们更高的报酬。任何擅长数学的人都可以通过从事除了教学以外的许多其他事情赚取双倍的收入。
安德鲁斯：教学是一门艺术，而不是一门科学。这听起来可能对大多数人来说是老生常谈，但这绝不是教育学院看待问题的方式。在我看来，未来的教师如果先在大学里真正学习他们的学科，然后花大量时间进行学徒培训，而不是获得教育学硕士学位，会好得多。这一点在某种程度上已经得到了教育工作者的认可：他们让学生在学年的一部分时间里作为学生教师。但应该有更多的实践，事实上，在20世纪早期，在教育学院意识到如果他们成为科学家就能在学术界获得更多尊重之前，确实是这样。成为科学家意味着他们必须做研究。他们被引向了研究新的教育方法。学徒制的根本作用在这一切中都消失了。
黑塞尔廷：让我问另一个大问题：我们需要教多少？你们几位都谈到了算术如何为代数奠定基础，代数如何为微积分奠定基础，微积分又如何为更高级的概念奠定基础，这就引出了这些问题：你们认为普通学生应该在数学方面走多远？我们真的认为每个人都需要了解微积分吗？
安德鲁斯：当你与正在学习算术的孩子打交道时，告诉他们“嗯，你肯定不会从事科学，所以你真的不需要知道这些”公平吗？每个人都应该有机会，尤其是在这个科学时代，掌握足够的技能，以便以后不会因为对数学一窍不通而被拒之门外。
康威：你真的不想让一个年幼的孩子失去成为伟大物理学家或称职天文学家的机会。
黑塞尔廷：好吧，让我把这个概念说得更离谱些。先是算盘，然后是计算器，现在是电脑。可以想象，有一天你有一个人工智能助手，一个电脑屏幕上的某种虚拟角色，你对它说：“帮我核对账本”或者“帮我找到最好的投资”。你将不再需要了解任何事物的基本知识，因为你会有这个助手为你做所有事情。科技可以创造出这样的东西。那么，对于普通人来说，数学技能会不会变得更不重要呢？
康威：那么也许我们也会有历史机器。想象一下一台个人历史机器，里面基本上包含所有人类历史——我们现在在网上已经有了。我们应该停止教授历史吗？
安德鲁斯：我们有拼写检查器和语法检查器，但每个人都知道它们只是助手。没有人建议我们不需要懂英语。
霍利：让我再举一个音乐的例子。我们生活在一个音乐无处不在的世界里。好莱坞的几个“大人物”制作出这些东西，并通过广播渠道播放出去。但在19世纪，每个中上阶层家庭都有一架钢琴，几乎每个人都知道怎么弹。自己创作音乐的魅力之一——这种魅力与其他形式的认真玩耍共通——就是你必须投入时间和精力才能精通这种乐器。你练习得越多，你就越好；你越好，你对自己的感觉就越好。这个过程能提升你的自尊心。而这完全是会传染的：当家庭成员现场演奏音乐时，房间里的每个人都会被这种体验所感染。当你走进客厅，你的儿子或女儿说：“嘿，妈妈，听这个”，然后按下CD播放器上的一个按钮，那效果就不一样了。
黑塞尔廷：你是说全家人可以围坐在一起，而小孩子在做微分方程吗？
霍利：当然。我建议你可以从这类事情中获得很多乐趣，因为我们谈论的是用心智创造事物。这可能是操纵音乐符号或数学符号——但这类东西是我们提升自我的部分原因。
黑塞尔廷：好的，在我们结束讨论之前，请允许我再次重申这些问题：在数学方面，我们希望将学生提升到什么程度？我们是否需要将目标定得更高，因为我们不知道未来会怎样，但我们知道数学与未来息息相关？例如，有人曾说，如果你想知道未来，只需看看数学界的热点是什么。
康威：没错。谁会想到因数分解会变得如此重要，以至于发展成为一个数十亿美元的产业？在我还是剑桥学生的时候，因数分解数字只适合数学家。突然之间，它变得实用起来。
霍利：从数学角度来说，有大量的丰富知识体系，仍在等待应用于有趣的领域。例如，张量微积分是微积分树相对晦涩的一个分支。爱因斯坦在研究他的广义相对论时发现它非常方便。很少有人真正理解爱因斯坦应用的数学和张量工作，所以它在其他领域并没有得到太多应用。但不久前它又重新浮出水面。现在在微软研究院工作的吉姆·布林发现张量微积分对于表达织物在微风中飘动和头发飘动等动态非常方便。其中的教训是，成为一个多语种并拥抱数学文献中已知的东西确实是值得的，因为这为你提供了理解新事物所需的武器库。
康威：这样的故事不计其数。不变量理论是数学的一个分支，在20世纪20年代曾风靡一时。我的意思是，它发展得非常丰富，然后逐渐失宠，但现在又带着各种应用回归了，比如信息传输和许多其他事物。但这种推理存在危险。你不必了解数学的一切。你确实需要了解一些数学。人们通常不必害怕数学。他们需要享受和热爱它。如果他们得到适当的教学，他们就会这样做。如果他们仅仅因为“他们需要知道它”而被教学，他们就不会得到适当的教学。
托比亚斯：我想提醒大家，我们在数学方面需要服务不同的群体。有一些年轻人将成长为推动这个领域发展的人。你们中的许多人曾经是那些年轻人；你们现在正围坐在桌旁。还有一些人将把数学，高等数学和物理，或者如果你喜欢的话，中等水平的数学，应用于商业。然后还有大量的人需要欣赏数学的力量，而不必非要能够做数学，因为他们坐在资助委员会或设计课程，或者是学校的管理者。这些人不能被排除在等式之外。但这并不意味着他们学习的数学类型与另外两个群体相同。
黑塞尔廷：非常感谢大家。
美国国家数学教师理事会网站：www.nctm.org。
