这项世界上最受欢迎的运动在全球200多个国家拥有超过2.5亿名球员。每周，它都会吸引数百万人涌入体育场。这项运动，即足球，由两支各11名球员的队伍进行，他们合作进球，同时阻止对手进球。对于每支球队来说，一场比赛有三种结果——赢、平或输。
这种比赛通常是一个更大的商业活动的一部分，旨在决定最佳球队。最常见的形式是联赛结构，球队相互比赛，然后根据结果进行排名。赛季结束时排名第一的球队就是冠军。
这种排名看似简单，但实际上隐藏了一些微妙但重要的问题。其中最主要的问题是胜利的价值。在大多数职业联赛中，答案是胜利的价值是平局的3倍，而输球则一文不值，记作(3-1-0)。
以前并非总是如此。在1981年之前，职业足球比赛的胜利在(2-1-0)体系中只值两分。所以胜利的价值是平局的两倍。然而，这项运动的管理机构提高了胜利的价值，以增加获胜的动力。
然而，这些数字本质上是任意的，由过去的（象征性地）烟雾弥漫的会议室里的委员会决定。但是，如果获胜是目标，为什么它的价值不是平局的5倍，或者10倍，或者100倍呢？
为了胜利而战
这就引出了一个有趣的问题。有没有一种客观的方法来确定胜利的价值，如果有，它的价值是多少？
今天，我们得到了答案，这要感谢加拿大蒙特利尔国家科学研究院的Leszek Szczecinski的工作。Szczecinski开发了一个关于比赛结果及其产生的排名的概率模型。
在这个模型中，有一个自由参数，对应于胜利相对于平局的价值。他的想法是利用职业足球真实世界的结果来确定其价值。当他这样做时，他表示，答案是5。
Szczecinski 的模型相对简单。它基于这样的理念：球队拥有内在能力，决定它们能否击败其他球队。然而，这种内在能力在现实世界中是隐藏的，只能通过反复比较球队来确定。换句话说，通过进行比赛来决定谁赢。
此外，比赛有运气成分——有时，实力较弱的球队也能获胜。然而，联赛过程最终应该根据球队隐藏的内在能力来对它们进行排名。
因此，在他的模型中，Szczecinski为每支球队分配一个获胜概率，这与它们的隐藏内在能力相关。然后，球队之间进行“比赛”，这些概率决定了比赛是以赢、输还是平局告终。
Szczecinski 研究的问题是，什么样的得分系统能确保联赛排名最能反映该过程旨在揭示的隐藏内在能力。
当然，在现实生活中无法得知内在排名，因此 Szczecinski 使用了自1981年以来英格兰、德国和西班牙职业足球联赛的数据来帮助校准他的模型。
结果表明，理想的评分方案在这些联赛中各不相同。例如，在英超联赛中，这可以说是世界上最艰难的联赛，一场胜利的价值是平局的3.9倍。在主要由皇家马德里和巴塞罗那两支球队主导的西班牙顶级联赛西甲中，一场胜利的价值是平局的7.5倍。
痛点
“结果表明，足球比赛中的名义得分规则与经验数据不符，” Szczecinski 说。相反，数据显示胜利的价值接近5分。
当然，Szczecinski 承认改变胜利的价值本身会影响比赛的性质。他指出，1981年在英格兰和1994年在德国，足球管理机构将胜利的价值从2分改为3分时，正是发生了这种情况。当时，数据显示平局一文不值，得分系统应该是(1-0-0)。
“看来管理机构通过引入（3-1-0）的得分规则，成功地改变了比赛结果的模式：现在（有条件的）获胜概率小于平局概率，”他说。
这表明进一步的改变应谨慎进行。Szczecinski 说这应该涉及一个迭代过程——进行一次改变，然后利用一段时间内的结果来计算胜利的新价值，以此类推。“例如，规则可能首先设定为 (4-1-0)，”他建议。
传达的信息是，如果这些联赛的目标是决定最佳球队，那么计分系统需要基于对数据的持续评估，而不是任意数字。这确实是一个有趣的想法。一场胜利值五分，有人同意吗？
参考文献：为什么赢得一场足球比赛值5分：arxiv.org/abs/2303.15305
