1968年欧洲足球锦标赛半决赛中，意大利国家足球队对阵苏联队，比赛结束时比分仍是0-0，加时赛也未能分出胜负。
当时的规则规定，在这种情况下，比赛应通过掷硬币来决定。意大利队长贾琴托·法切蒂猜对了，意大利队进入决赛并最终夺冠。
掷硬币通常被认为是解决棘手问题的最公平方式。这个过程包括用拇指将硬币抛向空中，然后再接住它。硬币正面朝上或反面朝上的几率是50:50，这就是为什么这个过程是公平的。至少所有人都这么认为。
公平的抛掷
来自荷兰阿姆斯特丹大学的弗朗齐谢克·巴托什及其数十位合作者，收集了350,757次掷硬币的结果，并得出结论：结果并非像之前所想的那样。他们总结说：“公平的硬币往往会以抛掷时的那一面朝上落地，”他们表示，这一结果证实了15年前的一项理论，即掷硬币的行为并不像人们预期的那样公平。
首先是一些背景知识。巴托什及其同事表示，在标准的掷硬币模型中，掷硬币遵循牛顿物理定律，透明地进行，随机性来源于抛掷起始条件的微小差异。
例如，抛掷者可能会用稍有不同的力来抛掷硬币，这种力可能会作用在硬币的不同点上，导致硬币旋转得更快或在空中停留更长时间。所有这些都应该导致硬币正面或反面朝上落地的概率为50:50。事实上，有证据表明这是真的。
但在2007年，统计学家兼魔术师佩尔西·迪亚科尼斯和他的两位同事开发了一个更详细的模型，预测了一个额外的影响。在他们的模型中，抛掷的硬币并非完美地绕着不变的轴旋转。相反，抛掷者可能会引入一种摆动或进动——旋转轴方向的变化。“进动导致硬币在空中以初始面朝上的时间更长，”巴托什及其同事说。“因此，硬币更有可能以抛掷时的那一面朝上落地。”
这种影响很小。迪亚科尼斯及其同事计算出它应该大约是0.51——换句话说，硬币应该以抛掷时的那一面朝上落地的几率为51%。他们用高速视频拍摄了抛掷的硬币来展示这种摆动。
问题在于，要证明这种微妙的影响需要大量的抛掷。而在此之前，可靠的证据要么没有记录硬币的起始位置，要么没有记录足够的事件以达到统计学意义。
这就是巴托什及其同事的用武之地。这个由48人组成的团队，在46个不同的国家总共抛掷了357,757次硬币，并记录了起始和最终配置。
他们的结果是结论性的。“数据显示，存在压倒性的同面偏向统计证据，”巴托什及其同事说。“当人们掷硬币时，它倾向于以抛掷时的那一面朝上落地。”
他们接着说，这种偏差在个体之间差异很大，有些人产生60%的同面偏向，而另一些人几乎没有偏向。
摇晃的抛掷
抛掷者如何引入更多偏差尚不清楚。“未来的工作可能会尝试验证‘摇晃的抛掷者’是否比‘稳定的抛掷者’表现出更明显的同面偏差。” 这将需要更多次的抛掷并对每次抛掷进行高速视频分析。
数据还表明，硬币在其他方面是公平的，没有证据表明存在对正面或反面有利的偏差。
这是一项有趣的工作，提出了一个重要问题：是否有可能利用这种偏见。巴托什及其同事用以下投注场景探讨了这个问题：“如果你在掷硬币的结果上下注一美元（即支付一美元入场费，根据结果赢取0或2美元），并重复下注1000次，那么了解掷硬币的起始位置平均会让你赚取19美元。”
这听起来可能不多，但研究人员指出，这比赌场在6副牌21点游戏中采用最佳策略所期望赚取的5美元要多。但比单零轮盘赌可能赚取的27美元要少。
这使得研究人员得出可操作的结论：“这些考虑促使我们建议，当掷硬币用于高风险决策时，最好隐藏硬币的起始位置。”
这就只剩下1968年欧洲足球锦标赛半决赛中，贾琴托·法切蒂是如何做出他的决定的问题了。
参考文献：公平的硬币倾向于以抛掷时的那一面朝上落地：来自350,757次抛掷的证据：arxiv.org/abs/2310.04153
