小时候，我仰望新墨西哥州夜晚明亮、近在咫尺的星空，诅咒宇宙的浩瀚。我对自己说，那些光点中有些一定是温暖着其他生命体的太阳。如果我能遇见那些其他生命，我将可以与地球上独一无二、孤寂的生命形态相比较。那样，我便能多了解一点我在宇宙中的位置，少一点孤独。像许多曾沉思夜空的孩子一样，我迷上了我们与可能潜藏在那里的外星人之间唯一的思想交流方式：数学。
想想柏拉图立体。这些形状，如立方体和正四面体（一个有三个等边三角形面的金字塔），其中的每一个角度、每一个面、每一个边都是相同的。在三维世界中只有五种这样的形状；其他三种分别是正八面体（八个三角形面）、正二十面体（二十个三角形面）和正十二面体（十二个五边形面）。这在古代就已经由欧几里得证明过了，而且很难夸大这个证明当时——以及现在——是多么的惊人。这五种形状的身份，以及确定不会有更多形状的确定性，是绝对而普适的。虽然外星人可能永远不会想到问这个问题，但地球上所有生命都无可争议地会同意答案。数学证明是任何人都可以做到的，但它却比宇宙更宏大。
我小时候之所以如此孤僻，原因之一是我9岁时我母亲在一场车祸中去世了。我父亲认为，让我设计并建造一个由我着迷的柏拉图立体组成的房子，这将是一种很好的疗法。当时是20世纪70年代初，正值嬉皮士迷恋测地线穹顶的时期，所以我设计了一个融合了穹顶、一些柏拉图立体和其他有趣几何形状的房子。我的卧室是一个正二十面体。房子的部分结构至今仍在，尽管大约15年后，其中一部分坍塌了，几乎差点杀死我父亲。别让一个11岁的孩子设计建筑！
当我读到Siobhan Roberts关于20世纪伟大几何学家唐纳德·考克斯特的新传记时，这些回忆如潮水般涌来。他有时被认为“拯救”了数学，使其免受那些对抽象概念而非形状和图像更感兴趣的数学家的影响。著名的测地线穹顶设计师巴克敏斯特·富勒曾说，考克斯特的形状掌握能力“在历史上只有一两个其他人拥有”。
书中一个脚注里的轶事令我振奋。著名物理学家弗里曼·戴森在一篇文章中提到，“普拉图很高兴知道”他——后来发现是不正确的——说考克斯特发现了一个形状：一个有11个面的、完全规则的多胞体。（多胞体是考克斯特对多面体——如柏拉图立体——在更高维度中存在的形态的称呼。）戴森认为，这种晦涩的数学物体可能变得非常重要。
一个有11个面的规则多胞体的想法是如此令人震惊，以至于我手中的书 literalmente 掉了下来。为了解释我为何如此震惊，我需要回顾一些背景知识。
首先，关于更高维度：你，一个三维生物，可以俯视二维世界，就像纸上的图画一样。生活在纸上的“平面世界”中的生物也可以四处看看，看到同样的图画，但只能从侧面看，看到一堆排成一行的线。（有一本著名的小说叫《平面国》，讲述了一个二维世界中的生活——这是一本值得一读且出人意料有趣的读物。）如果你在纸上放一个咖啡杯，平面世界的生物只能看到杯底的圆圈，而看不到整个结构，甚至那个圆圈，因为它只能从侧面看到，看起来也像一条线。
同样的方式，我们可以想象更高维度的形状，但作为三维生物，我们只能看到代表四维物体某个切片的二维物体。例如，立方体的四维版本，称为超立方体或tesseract，对我们来说可能看起来像两个立方体，中间有连接线——也就是说，一个三维截面，就像圆圈在二维世界中杯子的一个截面一样。
碰巧的是，在第四维度中存在六个类似柏拉图立体的形状。它们有5、8、16、24、120和600个“面”（尽管在第四维度中，每个面都是三维的，所以它们被称为“单元”）。你可能会认为这个事实只具有学术意义，但实际上，这些四维形状非常重要。它们代表了自然界中最基本的某些对称性。
对称性的概念非常简单，以至于很难准确描述。对称性是指当不同事物以一致的方式关联时存在的秩序。镜子里的影像具有对称性，因为它除了左右翻转外是相同的。海星具有旋转对称性，因为你将它旋转五分之一圈后，它看起来与之前一样。理论物理学家花费大量时间思考其他更复杂的对称性，这些对称性有助于解释自然界中观察到的模式。对称性的共同点是它们都由数学支配。
许多杰出的数学家在听到11-单元形状时，都曾有过相同的初步反应：不可能。嗯，这并非不可能。
这让我回到了柏拉图立体，其形状的规则性是一种严谨的对称形式。一个有11个面的柏拉图形状，且面数是质数，这最初听起来是错误的。对称性的本质是部分反映整体，所以你应该能够将一个对称物体分解成相似的部分，而这正是质数所拒绝做的事情。（在你问之前：5-单元形状——也称为单纯形——过于简单，甚至无法思考分解。它是最简单的四维多胞体。三维中最简单的柏拉图立体是正四面体，一个有三个面的金字塔，有四个顶点。将其移到四维空间，你需要增加一个顶点来占据额外维度的空间，因此有五个顶点。）
许多杰出的数学家在听到11-单元形状时，都曾有过相同的初步反应：不可能。嗯，它并非不可能，而是真实存在的。为了排除一个显而易见的疑虑，是的，我们已经证明了我们知道所有六种四维规则多胞体——但11-单元由于其不寻常的形式而逃脱了人们的注意。因此，它被指定为“抽象”多胞体，仿佛四维空间本身还不够抽象似的。使11-单元抽象的原因是，如果将这些单元分开，它们就不能作为传统的3D对象，因为它们有一些奇怪的特性，比如它们的侧面可以相互穿透或重合。
为了解开11-单元的奥秘，我求助于我的朋友卡洛·塞金（Carlo Séquin），他是加州大学伯克利分校的一名教授。卡洛也是“普拉图病”的患者。他的办公室里摆满了各种奇特形状的惊人雕塑，包括四维物体的各种三维投影。其中许多在他之前从未以实体形式实现过。卡洛常常需要自己编写程序来指导机器人建造这些形状，或者用激光在化学浴中形成它们。
在说服自己11-单元真实存在后，卡洛也和我一样，对看到它产生了痴迷。我联系了我能找到的所有与11-单元共事过的数学家，包括华盛顿大学的布兰科·格鲁恩鲍姆（Branko Grünbaum），他后来发现自己在20世纪70年代就发现了它，比考克斯特更详细地描述它。令人惊讶的是，似乎没有人尝试过创作它的图像。
卡洛和我着手工作，首先是可视化单个单元。11-单元的每个“面”都是一种称为半正二十面体（又称半二十面体）的形状。你可以将其想象成一个被折叠成正八面体的半个正二十面体，缺少一些外部面，加上一些内部重叠和相互穿透的额外面。（文字在此处真的不足以表达。）一个半正二十面体有10个单元。将更多的半正二十面体连接到每个单元上，总共就有11个单元。
令人惊讶的是，在四维空间中，这些形态以一种完全规则的对称方式相互连接。此外，该形状是自对偶的，这意味着如果你在11-单元的每个面中心画线，你就会得到另一个11-单元。如果你对立方体这样做，你会得到一个正八面体。因此，从一个重要的意义上说，11-单元比立方体更优雅地对称。
在这些页面上，我非常激动地向您展示11-单元的第一个公开发表的图像。这张图像中有11种颜色，每种颜色代表一个半正二十面体单元。既然我们能看到它了，我想给11-单元起个昵称。我建议称它为hendecatope，在希腊语中意为“11相关之地”。
为这个故事增添最后一个转折：布鲁塞尔自由大学的迪米特里·利曼斯（Dimitri Leemans）和东北大学的埃贡·舒尔特（Egon Schulte）去年表明，只有两种形状像11-单元。另一种是57-单元形状（由考克斯特发现），但57不是质数。因此，11-单元确实是独一无二的。
这一切有什么用呢？也许大自然会找到利用赫克托佩对称性的方法。在理论物理学中？也许在生命细胞的生命周期中？正如弗里曼·戴森所说，迟早，11-单元可能会变得很重要。
更重要的是， somewhere up there in the sky，某种生命形式，尽管可能无法理解，却在同一个神奇的时刻有了相同的想法。
我将这篇作品献给理查德·牛顿（Rich Newton），他是加州大学伯克利分校的一位前院长，他于去年一月去世。是他将我带入了我在大学的新职位，这使我能够与卡洛合作，从而使这一系列想法成为可能。
