在纽约州伊萨卡的一个周四晚上，康奈尔大学一位充满活力的金发数学家 Daina Taimina 和她的丈夫、康奈尔大学几何学教授 David Henderson 坐在厨房的餐桌旁。在她面前放着一个大大的中国碗，里面装满了用灰色、蓝色、红色和紫色纱线制成的褶皱形状。Taimina 从碗里拿出一块摇摇晃晃的多彩表面，这种表面足以让苏斯博士（Dr. Seuss）都为之着迷。
“这是一个八边形，每个连接处都有一个 45 度角，”她解释道，展示着一件由羊毛制成的、轮廓呈白色的熟悉的多边形。 “当你把它组合起来，”她继续说，将材料折叠在一起，使八边形的相对角相遇，“你就会得到这个。”正如一张平面的纸的两端可以连接形成一个圆柱体一样，Taimina 的羊毛八边形的两端也可以连接形成一个双圆柱体。在我眼前，这个八边形已经变成了一种既熟悉又更加奇怪的东西——一条双曲羊毛裤子。
Taimina 手里拿着紫色的羊毛折痕，停下来把她的猫赶走一盘吃了一半的香草冰淇淋，然后再次伸进碗里。她拿出了一块色彩鲜艳的编织物，看起来像是洗了几十次都不够——它变成了一个像长着管状突起的羊毛立方体。她说这是四个连接在一起的双曲六边形；一个三头怪物可能会想把它当作毛衣来穿。“如果你是一个生活在这个平面上的生物，比如说一只蚂蚁，它仍然是相同的双曲空间。我可以像这样再连接四个，”她说，在我眼前组装出一个微型的双曲宇宙。
这个表演令人着迷的地方在于，它本应是不可能的。双曲几何学是一个数学概念，非常晦涩难懂，几乎所有人都放弃了想象它。要理解它有多么晦涩难懂，试着回忆一下你在初中学习的，最简单的几何学——欧几里得几何学，或平面几何学。它的形状——三角形、正方形——都很简单，因为它的规则是二维的：空间不弯曲，两点之间的最短距离是一条直线。平面世界是可以画在一张纸上的世界。
稍微更烧脑一些的是球面几何学，它描述了一个空间具有恒定正曲率的世界，就像地球的表面一样。两点之间的最短距离仍然是一条直线，但这条直线是弯曲的——对上面的一个人来说几乎察觉不到——最终会与自身相交。尽管球面几何学不太直观，但它处理的是我们熟悉物质世界中的形状。利用它，船只和飞机可以沿着“大圆航线”跨越大洋，这些航线在平坦的地图上看起来曲折，但实际上是穿过海洋最直、最快的路线。
双曲几何学，由数学家 Carl Gauss 在 1816 年构思，则更加奇特。与平面几何学一样，它假定两点之间的最短距离是一条直线。而且双曲空间，与球面空间一样，具有恒定的曲率——只是曲率是负的而不是正的。双曲几何学描述了一个在每个点都向自身弯曲的世界，使其成为球体的精确对立面，无论那是什么样子。（人们会倾向于想象一个内翻的球体，但这仍然描述的是正曲率，因为空间在每个点都向自身弯曲。）
Gauss 从未发表过这个想法，也许是因为他觉得它不够优雅。1825 年，匈牙利数学家 János Bolyai 和俄罗斯数学家 Nicolay Lobachevsky 独立地重新发现了双曲几何学。他们宣布，所有欧几里得几何学的正常规则都适用于这种几何学，除了欧几里得的平行公理，该公理指出，如果有一条直线和一个不在直线上的点，则存在至多一条通过该点且与该直线平行的直线。在双曲空间中，不止一条平行线穿过那个外部点；事实上，有无数条。
双曲空间的重新发现并没有受到当时主导西方数学的分析学派的德国和奥地利数学家的热烈欢迎；他们梦想着一个逻辑有序、可以通过方程来表示的宇宙。直到最近——铁幕落下之后——双曲形式的奇特且不合逻辑的美丽才再次引起数学家的关注。
我问 Henderson 为什么那些无法想象的形状会出现在他妻子的编织碗里。“一百年前，数学家 David Hilbert 证明了一个定理，即无法在三维空间中用解析法表示双曲平面，”他说。“‘解析法’的意思是‘用方程表示’。后来大家都省略了‘解析法’这个词。他们担心数学中会通过几何直觉产生错误，于是他们 discouraged 几何学以及与这种奇怪思维相关的一切研究。”
quando Taimina 在苏联式的数学教育体系下在拉脱维亚长大时，对不能严格用方程表达的数学的偏见并不存在。“我们被教导要从图片开始，”她回忆道。“你弄清楚发生了什么，然后开始证明它。”
由于苏联体制也导致了物资短缺和劣质、不好看的商品生产，每个女人都学会了编织和钩针。“你自己修车，你自己修水龙头——什么都修，”她笑着说。“我小的时候，编织或任何其他手工意味着你可以做出与众不同的裙子或毛衣。”
第一个解决如何为课堂使用构建双曲平面简单实物模型问题的人是数学家 William Thurston，他现在是 Taimina 和 Henderson 在康奈尔大学的同事。与大多数美国同事不同，Thurston 从来不怎么重视试图用数学方程来表示几何直觉。
Henderson 构建双曲平面的方法是将薄的圆形纸带粘在一起。他从 Thurston 那里学到了这个方法，当时是在 1978 年 Bates College 的一个研讨会上。之后，在一次露营旅行中，他用他的瑞士军刀和一些苏格兰胶带构建了他的第一个双曲平面。
二十年后，Taimina 回忆说，Henderson 仍然在使用同一个破旧的模型。当她被指派在康奈尔大学教授他的双曲几何学课程时，她在那儿担任客座教授，她不得不面对它。
“太恶心了，”Taimina 回忆道，她俏皮地摇了摇头。“所以我花了一个夏天钩织了一套双曲形状供课堂使用。我们和 David 的家人一起坐在游泳池边，我的女儿们正在学说英语和游泳，而我则坐着钩织。人们走过，问我‘你在做什么？’我回答说，‘哦，我在钩织双曲平面。’”
她从钩织一小行针脚开始。在那一行上，她接着添加连续的、同心的针脚行。行数，或称为环，长度呈指数级增长：例如，每两个上一行的圈里增加一个针脚，或者每五个圈里增加两个针脚。随着每行针脚数量的增加，产生的形状变得起伏和褶皱。Taimina 解释说，正是因为双曲空间呈指数级增长，所以需要钩织而不是编织。“在编织中，你正在使用的所有针脚都在你的针上，”她说，同时往她正在完成的形状上添加一些针脚。“所以考虑到增长率，你的针很快就无法移动了。”钩针不需要将所有针脚同时握在针上，这使得 Taimina 可以在更小的空间里塞进更多的针脚。钩织的形状也足够坚硬，可以保持其形状。
“这是一个非常有趣的，”她说，引起我注意她钩针上的一朵紫色的纱线花，看起来像一只被海葵困住的紫色海葵。内圈针脚长一英寸半。总共有 16 行同心圆。Taimina 让我估算一下紫色锯齿状海葵的周长。我猜是 24 英尺。
“差不多了，”Henderson 说。“是 30 英尺——369 英寸。”
Taimina 纠正了他：第一行和最后一行之间有 22 行，而不是 16 行。从一行到下一行的增长率惊人，产生的形状异常美丽。Taimina 的钩织作品神奇地揭示了双曲几何学实际上是我们日常生活的一部分。视频游戏设计师可以利用双曲几何学来创建逼真的服装和发型。一些神经科学家甚至认为大脑是根据双曲几何学的规则存储信息的。尽管双曲几何学的实际应用不到二十年，但它们代表了数学思维的深刻转变，从对一个完美解析宇宙的梦想转向一个更开放、更直观的宇宙。
当我问 Taimina 她自己的生活中双曲形状的例子时，她指着窗外的后院。“现在太黑了，”她说。“我明天可以在花园里给你看。皱巴巴的欧芹。一些生菜。木耳。它们都是双曲形状。”
我依稀记得天文学家曾提出宇宙可能是双曲的，呈现恒定的负曲率。Henderson 点点头说：“现在有证据表明，如果你朝某些方向前进，你会绕回来。这可能是球形的，也可能是双曲的。”
这让我想起了我整个晚上一直存在的那个非常直观的想法：还有什么比一对双曲裤子更好的宇宙形状呢？
“不太可能，”Taimina 说。为了安慰我，她同意展示她为洛杉矶图灵研究所赞助的一次近期演讲而制作的双曲裙子，之后电影导演 Werner Herzog 带她去吃饭，然后吻了她晚安。这条裙子由 10 团棉纱制成，每团长 689 英尺。“褶边可以分成其他褶边，”Henderson 说，Taimina 在客厅里转圈。“这就是为什么你能说它是双曲的。”当我建议为数学家设计服装系列时，Taimina 微笑起来。
“这是本季最热门的廓形之一，”她说。“它实际上与一种非常古老的图案——神父裙（godet skirt）——相似。它由六到八块拼接而成，而且以能衬托任何身材而闻名。所以你看，双曲几何学为什么如此重要。”
